Номер 359, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

359. Решите уравнение:

а) $y^7 - y^6 + y = 1;$

б) $y^7 + y^6 - 27y = 27.$

а)

Перенесем все члены уравнения $y^7 - y^6 + y = 1$ в левую часть, чтобы в правой части получился ноль:

$y^7 - y^6 + y - 1 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(y^7 - y^6) + (y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $y^6$ из первой скобки:

$y^6(y - 1) + 1(y - 1) = 0$

Теперь мы видим, что $(y - 1)$ является общим множителем, который можно вынести за скобки:

$(y - 1)(y^6 + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $y - 1 = 0$, откуда получаем корень $y = 1$.

2. $y^6 + 1 = 0$, что равносильно $y^6 = -1$. В области действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как четная степень ($6$) любого действительного числа не может быть отрицательной, то есть $y^6 \ge 0$.

Следовательно, единственным действительным решением данного уравнения является $y = 1$.

Ответ: $1$.

б)

Перенесем все члены уравнения $y^7 + y^6 - 27y = 27$ в левую часть:

$y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0$

Воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(y^7 + y^6) - (27y + 27) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^6$, а из второй $-27$:

$y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1)(y^6 - 27) = 0$

Это уравнение распадается на два отдельных уравнения:

1. $y + 1 = 0$, откуда получаем первый корень $y = -1$.

2. $y^6 - 27 = 0$, что равносильно $y^6 = 27$.

Чтобы найти $y$, извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня четная, а число $27$ положительное, у нас будет два действительных корня:

$y = \pm \sqrt[6]{27}$

Упростим выражение для корня: $\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, мы получаем еще два решения: $y = \sqrt{3}$ и $y = -\sqrt{3}$.

В итоге, исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $-1; -\sqrt{3}; \sqrt{3}$.