Номер 358, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

358. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24;$

б) $(x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3;$

в) $(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7;$

г) $(y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12;$

д) $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3;$

е) $(x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88;$

ж) $(2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0.$

а)

Дано уравнение $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24$.

Введем новую переменную $t = x^2 + 6x$. Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 5t = 24$

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) При $t = 8$ получаем уравнение: $x^2 + 6x = 8$, или $x^2 + 6x - 8 = 0$.

Дискриминант $D_1 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.

2) При $t = -3$ получаем уравнение: $x^2 + 6x = -3$, или $x^2 + 6x + 3 = 0$.

Дискриминант $D_2 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$. Корни: $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$.

Ответ: $-3 \pm \sqrt{17}; -3 \pm \sqrt{6}$.

б)

Дано уравнение $(x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3$.

Пусть $t = x^2 - 2x - 5$. Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 3$: $x^2 - 2x - 5 = 3$, или $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

2) При $t = -1$: $x^2 - 2x - 5 = -1$, или $x^2 - 2x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$. Корни: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $4; -2; 1 \pm \sqrt{5}$.

в)

Дано уравнение $(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7$.

Введем замену $t = x^2 + 3x - 25$. Тогда уравнение можно записать как:

$t^2 - 2t = -7$

$t^2 - 2t + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г)

Дано уравнение $(y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12$.

Пусть $t = (y + 2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - t = 12$

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $t = 4$.

Выполним обратную замену: $(y + 2)^2 = 4$.

Отсюда следует, что $y + 2 = 2$ или $y + 2 = -2$.

1) $y + 2 = 2 \implies y_1 = 0$.

2) $y + 2 = -2 \implies y_2 = -4$.

Ответ: $0; -4$.

д)

Дано уравнение $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3$.

Введем новую переменную $t = x^2 + 2x$. Тогда $x^2 + 2x + 2 = t + 2$.

Уравнение принимает вид:

$t(t + 2) = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 1$: $x^2 + 2x = 1$, или $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

2) При $t = -3$: $x^2 + 2x = -3$, или $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}$.

е)

Дано уравнение $(x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88$.

Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t - 16)(t + 2) = 88$

Раскроем скобки: $t^2 + 2t - 16t - 32 = 88$.

$t^2 - 14t - 120 = 0$

Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20$, $t_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 20$: $x^2 - x = 20$, или $x^2 - x - 20 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

2) При $t = -6$: $x^2 - x = -6$, или $x^2 - x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $5; -4$.

ж)

Дано уравнение $(2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0$.

Введем замену $t = 2x^2 + 7x$. Уравнение примет вид:

$(t - 8)(t - 3) - 6 = 0$

Раскроем скобки: $t^2 - 3t - 8t + 24 - 6 = 0$.

$t^2 - 11t + 18 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 9$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 9$: $2x^2 + 7x = 9$, или $2x^2 + 7x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-7 + 11}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$.

2) При $t = 2$: $2x^2 + 7x = 2$, или $2x^2 + 7x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 49 + 16 = 65$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.

Ответ: $1; -4.5; \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.