Номер 356, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

356. Решите уравнение $x^3 = x$ двумя способами: графическим и аналитическим.

Графический способ

Чтобы решить уравнение $x^3 = x$ графически, нужно построить графики двух функций в одной системе координат: $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x$ (прямая). Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат, а также через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, которая также симметрична относительно начала координат и проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

При построении видно, что графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых легко определяются:

• Точка пересечения в третьей четверти с координатами $(-1, -1)$. Абсцисса $x = -1$.
• Точка пересечения в начале координат с координатами $(0, 0)$. Абсцисса $x = 0$.
• Точка пересечения в первой четверти с координатами $(1, 1)$. Абсцисса $x = 1$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков равны $-1$, $0$ и $1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.

Аналитический способ

Для решения уравнения $x^3 = x$ аналитически, перенесем все его члены в левую часть:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

или

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Мы получили три корня уравнения.

Ответ: $-1; 0; 1$.