Номер 349, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

349. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

2. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

3. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Для того чтобы выбрать уравнение, имеющее один и только один целый корень, необходимо проанализировать каждое из предложенных уравнений.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. В данном уравнении свободный член равен 3.
Возможные целые корни — это делители числа 3: $\pm1, \pm3$.
Проверим каждый из них подстановкой в уравнение:
При $x=1$: $1^3 - 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x=-1$: $(-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x=3$: $3^3 - 3 + 3 = 27 - 3 + 3 = 27 \ne 0$.
При $x=-3$: $(-3)^3 - (-3) + 3 = -27 + 3 + 3 = -21 \ne 0$.
Ни один из делителей не является корнем, следовательно, у уравнения нет целых корней.
Ответ: уравнение не имеет целых корней.

2. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $y^2 + y - 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной для $y_1 = 4$:
$x^2 = 4$.
Это уравнение имеет два целых корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: уравнение имеет два целых корня.

3. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ (при этом $y \ge 0$).
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + 5y + 4 = 0$.
По теореме Виета, его корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.
Оба корня отрицательны, следовательно, не удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Таким образом, действительных корней у уравнения нет, а значит, нет и целых.
Также можно заметить, что для любого действительного $x$, слагаемые $x^4$ и $5x^2$ неотрицательны. Тогда левая часть уравнения $x^4 + 5x^2 + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$. Значение левой части никогда не может быть равно нулю.
Ответ: уравнение не имеет целых корней.

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Возможные целые корни ищем среди делителей свободного члена, равного 4. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$.
Следовательно, $x=1$ — целый корень уравнения.
Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на двучлен $(x-1)$. Это можно сделать, например, делением "уголком".
$(x^3 - 5x + 4) : (x - 1) = x^2 + x - 4$.
Уравнение можно переписать в виде: $(x-1)(x^2 + x - 4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ (целый корень).
2) $x^2 + x - 4 = 0$. Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Так как дискриминант $D=17$ не является точным квадратом целого числа, корни $x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ являются иррациональными.
Таким образом, исходное уравнение имеет только один целый корень.
Ответ: уравнение имеет один целый корень.

Сравнив результаты анализа всех уравнений, приходим к выводу, что только уравнение 4. $x^3 - 5x + 4 = 0$ имеет один и только один целый корень.