Номер 342, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

342. Решите уравнение:

а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0;$

б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0.$

а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (числа 2), то есть: $ \pm 1, \pm 2 $.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Пусть $P(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2$.

При $x = 1$: $P(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq 0$.

При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 4 - 3 + 2 = -6 \neq 0$.

При $x = 2$: $P(2) = 2^3 - 4(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$.

Мы нашли один корень $x_1 = 2$. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ делится нацело на двучлен $(x - 2)$. Выполним деление многочлена (например, по схеме Горнера или "столбиком").

$(x^3 - 4x^2 + 3x + 2) : (x - 2) = x^2 - 2x - 1 $

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x - 2)(x^2 - 2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Один корень мы уже знаем ($x-2=0 \implies x=2$). Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$ с помощью формулы корней.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Отсюда получаем еще два корня: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_3 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$.

б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Снова воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни — это целые делители свободного члена 12: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 $.

Проверим некоторые из них подстановкой. Пусть $P(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12$.

При $x = 1$: $P(1) = 1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 8(1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$. Корень найден: $x_1 = 1$.

Разделим многочлен на $(x - 1)$, чтобы понизить степень уравнения.

$(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 $

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) = 0$

Теперь нужно решить кубическое уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$. Для его решения можно применить метод группировки слагаемых.

$ (x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = 0 $

$ x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$ (x^2 - 4)(x + 3) = 0 $

Множитель $(x^2-4)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)$.

В итоге получаем: $(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 0$.

Отсюда находим остальные три корня: $x_2 = 2, x_3 = -2, x_4 = -3$.

Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.

Ответ: $-3, -2, 1, 2$.