Номер 347, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

347. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

a) $ (x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256; $

б) $ 2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8. $

а) $(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Для начала преобразуем второе слагаемое:

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x^2 + 8x)^2 - 4(x^2 + 8x + 16) = 256$

Заметим, что выражение $x^2 + 8x$ повторяется. Введем новую переменную. Пусть $y = x^2 + 8x$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 4(y + 16) = 256$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 4y - 64 = 256$

$y^2 - 4y - 64 - 256 = 0$

$y^2 - 4y - 320 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-4) + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$y_2 = \frac{-(-4) - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y_1 = 20$, то:

$x^2 + 8x = 20$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$. $\sqrt{D_1} = 12$.

$x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

2) Если $y_2 = -16$, то:

$x^2 + 8x = -16$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Это полный квадрат: $(x + 4)^2 = 0$.

$x + 4 = 0$

$x_3 = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-10; -4; 2$.

б) $2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x - 3)^2 = 4$

Преобразуем выражение в скобках во втором слагаемом:

$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Подставим это в наше уравнение:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x^2 - 6x + 9) = 4$

Видим повторяющееся выражение $x^2 - 6x$. Введем новую переменную $y = x^2 - 6x$.

Уравнение преобразуется к виду:

$y^2 - 60(y + 9) = 4$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 60y - 540 = 4$

$y^2 - 60y - 544 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-544) = 3600 + 2176 = 5776$

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-60) + 76}{2} = \frac{136}{2} = 68$

$y_2 = \frac{-(-60) - 76}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y_1 = 68$, то:

$x^2 - 6x = 68$

$x^2 - 6x - 68 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-68) = 36 + 272 = 308$.

$\sqrt{D_1} = \sqrt{308} = \sqrt{4 \cdot 77} = 2\sqrt{77}$.

$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{77}}{2} = 3 + \sqrt{77}$

$x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{77}}{2} = 3 - \sqrt{77}$

2) Если $y_2 = -8$, то:

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D_2 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. $\sqrt{D_2} = 2$.

$x_3 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_4 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $2; 4; 3 - \sqrt{77}; 3 + \sqrt{77}$.