Номер 346, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

346. Решите уравнение:

а) $718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$;

б) $206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$.

а) $718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
После подстановки уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $y$:
$718y^2 - 717y - 1 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться свойством коэффициентов. Заметим, что сумма его коэффициентов ($a=718$, $b=-717$, $c=-1$) равна нулю:
$a + b + c = 718 + (-717) + (-1) = 1 - 1 = 0$
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то его корнями являются $1$ и $\frac{c}{a}$.
Следовательно, находим корни для $y$:
$y_1 = 1$
$y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{718}$
Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. Для корня $y_1 = 1$:
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1}$, что дает два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2. Для корня $y_2 = -\frac{1}{718}$:
$x^2 = -\frac{1}{718}$
Данное уравнение не имеет действительных решений, так как $x^2$ не может быть отрицательным числом.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) $206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим тот же метод решения. Введем замену переменной $y = x^2$, при условии $y \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$206y^2 - 205y - 1 = 0$
Сумма коэффициентов этого уравнения ($a=206$, $b=-205$, $c=-1$) также равна нулю:
$a + b + c = 206 + (-205) + (-1) = 1 - 1 = 0$
Следовательно, его корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{206}$
Выполним обратную замену для найденных значений $y$:
1. Для корня $y_1 = 1$:
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1}$, откуда получаем два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2. Для корня $y_2 = -\frac{1}{206}$:
$x^2 = -\frac{1}{206}$
Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $1$ и $-1$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.