Номер 352, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

352. Решите уравнение:

а) $x^5 - x^3 = 0$;

б) $x^6 = 4x^4$;

в) $0.5x^3 = 32x$;

г) $0.2x^4 = 4x^2$.

а) $x^5 - x^3 = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $x^3 = 0$, откуда следует, что $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

В результате мы нашли три корня уравнения.

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) $x^6 = 4x^4$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^6 - 4x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$x^4(x^2 - 4) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 4 = 0$. Используем формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ и $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

в) $0.5x^3 = 32x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$0.5x^3 - 32x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0.5x^2 - 32) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $0.5x^2 - 32 = 0$.

$0.5x^2 = 32$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{64}$

Получаем два корня: $x = 8$ и $x = -8$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 8$.

г) $0.2x^4 = 4x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$0.2x^4 - 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(0.2x^2 - 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $0.2x^2 - 4 = 0$.

$0.2x^2 = 4$

Разделим обе части на 0.2 (что эквивалентно умножению на 5):

$x^2 = \frac{4}{0.2} = 20$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{20}$

Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Получаем еще два корня: $x = 2\sqrt{5}$ и $x = -2\sqrt{5}$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2\sqrt{5}; 0; 2\sqrt{5}$.