Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

346. Решите уравнение:

а) $718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$;

б) $206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$.

а) $718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
После подстановки уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $y$:
$718y^2 - 717y - 1 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться свойством коэффициентов. Заметим, что сумма его коэффициентов ($a=718$, $b=-717$, $c=-1$) равна нулю:
$a + b + c = 718 + (-717) + (-1) = 1 - 1 = 0$
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то его корнями являются $1$ и $\frac{c}{a}$.
Следовательно, находим корни для $y$:
$y_1 = 1$
$y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{718}$
Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. Для корня $y_1 = 1$:
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1}$, что дает два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2. Для корня $y_2 = -\frac{1}{718}$:
$x^2 = -\frac{1}{718}$
Данное уравнение не имеет действительных решений, так как $x^2$ не может быть отрицательным числом.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) $206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим тот же метод решения. Введем замену переменной $y = x^2$, при условии $y \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$206y^2 - 205y - 1 = 0$
Сумма коэффициентов этого уравнения ($a=206$, $b=-205$, $c=-1$) также равна нулю:
$a + b + c = 206 + (-205) + (-1) = 1 - 1 = 0$
Следовательно, его корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{206}$
Выполним обратную замену для найденных значений $y$:
1. Для корня $y_1 = 1$:
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1}$, откуда получаем два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2. Для корня $y_2 = -\frac{1}{206}$:
$x^2 = -\frac{1}{206}$
Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $1$ и $-1$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

347. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

a) $ (x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256; $

б) $ 2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8. $

а) $(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Для начала преобразуем второе слагаемое:

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x^2 + 8x)^2 - 4(x^2 + 8x + 16) = 256$

Заметим, что выражение $x^2 + 8x$ повторяется. Введем новую переменную. Пусть $y = x^2 + 8x$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 4(y + 16) = 256$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 4y - 64 = 256$

$y^2 - 4y - 64 - 256 = 0$

$y^2 - 4y - 320 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-4) + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$y_2 = \frac{-(-4) - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y_1 = 20$, то:

$x^2 + 8x = 20$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$. $\sqrt{D_1} = 12$.

$x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

2) Если $y_2 = -16$, то:

$x^2 + 8x = -16$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Это полный квадрат: $(x + 4)^2 = 0$.

$x + 4 = 0$

$x_3 = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-10; -4; 2$.

б) $2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x - 3)^2 = 4$

Преобразуем выражение в скобках во втором слагаемом:

$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Подставим это в наше уравнение:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x^2 - 6x + 9) = 4$

Видим повторяющееся выражение $x^2 - 6x$. Введем новую переменную $y = x^2 - 6x$.

Уравнение преобразуется к виду:

$y^2 - 60(y + 9) = 4$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 60y - 540 = 4$

$y^2 - 60y - 544 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-544) = 3600 + 2176 = 5776$

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-60) + 76}{2} = \frac{136}{2} = 68$

$y_2 = \frac{-(-60) - 76}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y_1 = 68$, то:

$x^2 - 6x = 68$

$x^2 - 6x - 68 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-68) = 36 + 272 = 308$.

$\sqrt{D_1} = \sqrt{308} = \sqrt{4 \cdot 77} = 2\sqrt{77}$.

$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{77}}{2} = 3 + \sqrt{77}$

$x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{77}}{2} = 3 - \sqrt{77}$

2) Если $y_2 = -8$, то:

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D_2 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. $\sqrt{D_2} = 2$.

$x_3 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_4 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $2; 4; 3 - \sqrt{77}; 3 + \sqrt{77}$.

348. Решите уравнение:

а) $x^3 + 11x - 108 = 0;$

б) $x^5 + 6x + 44 = 0.$

а)

Дано уравнение $x^3 + 11x - 108 = 0$.

Попробуем найти целочисленные корни уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. В данном случае, делителем числа -108.

Делители числа 108: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \dots$.

Проверим некоторые положительные делители подстановкой в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 + 11 \cdot 1 - 108 = 1 + 11 - 108 = -96 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 + 11 \cdot 2 - 108 = 8 + 22 - 108 = -78 \neq 0$.

При $x = 3$: $3^3 + 11 \cdot 3 - 108 = 27 + 33 - 108 = -48 \neq 0$.

При $x = 4$: $4^3 + 11 \cdot 4 - 108 = 64 + 44 - 108 = 108 - 108 = 0$.

Таким образом, $x = 4$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 11x - 108$ делится нацело на двучлен $(x - 4)$.

Выполним деление многочлена на $(x-4)$ (например, по схеме Горнера или делением в столбик), чтобы найти частное:

$(x^3 + 11x - 108) \div (x - 4) = x^2 + 4x + 27$.

Теперь уравнение можно записать в виде произведения:

$(x - 4)(x^2 + 4x + 27) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2) $x^2 + 4x + 27 = 0$.

Решим второе, квадратное, уравнение. Для этого найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 16 - 108 = -92$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + 4x + 27 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением исходного уравнения является корень первого множителя.

Ответ: 4.

б)

Дано уравнение $x^5 + 6x + 44 = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 6x + 44$. Чтобы исследовать количество ее корней, найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5 + 6x + 44)' = 5x^4 + 6$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$. Поэтому $5x^4 \ge 0$.

Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4 + 6 \ge 6 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции $f(x)$ строго положительна на всей числовой прямой, функция является строго возрастающей. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного действительного корня.

Попробуем найти этот единственный корень подбором, проверяя целые делители свободного члена (числа 44).

Делители числа 44: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm11, \pm22, \pm44$.

Заметим, что при $x > 0$, все слагаемые $x^5$, $6x$ и $44$ положительны, поэтому их сумма не может быть равна нулю. Значит, если корень существует, он должен быть отрицательным.

Проверим $x = -1$: $f(-1) = (-1)^5 + 6(-1) + 44 = -1 - 6 + 44 = 37 \neq 0$.

Проверим $x = -2$: $f(-2) = (-2)^5 + 6(-2) + 44 = -32 - 12 + 44 = -44 + 44 = 0$.

Мы нашли корень $x = -2$. Так как было доказано, что уравнение может иметь не более одного действительного корня, то $x = -2$ и есть единственное решение.

Ответ: -2.

349. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

2. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

3. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Для того чтобы выбрать уравнение, имеющее один и только один целый корень, необходимо проанализировать каждое из предложенных уравнений.

1. $x^3 - x + 3 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. В данном уравнении свободный член равен 3.
Возможные целые корни — это делители числа 3: $\pm1, \pm3$.
Проверим каждый из них подстановкой в уравнение:
При $x=1$: $1^3 - 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x=-1$: $(-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \ne 0$.
При $x=3$: $3^3 - 3 + 3 = 27 - 3 + 3 = 27 \ne 0$.
При $x=-3$: $(-3)^3 - (-3) + 3 = -27 + 3 + 3 = -21 \ne 0$.
Ни один из делителей не является корнем, следовательно, у уравнения нет целых корней.
Ответ: уравнение не имеет целых корней.

2. $x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $y^2 + y - 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной для $y_1 = 4$:
$x^2 = 4$.
Это уравнение имеет два целых корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: уравнение имеет два целых корня.

3. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ (при этом $y \ge 0$).
Получаем квадратное уравнение: $y^2 + 5y + 4 = 0$.
По теореме Виета, его корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.
Оба корня отрицательны, следовательно, не удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Таким образом, действительных корней у уравнения нет, а значит, нет и целых.
Также можно заметить, что для любого действительного $x$, слагаемые $x^4$ и $5x^2$ неотрицательны. Тогда левая часть уравнения $x^4 + 5x^2 + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$. Значение левой части никогда не может быть равно нулю.
Ответ: уравнение не имеет целых корней.

4. $x^3 - 5x + 4 = 0$

Возможные целые корни ищем среди делителей свободного члена, равного 4. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$.
Следовательно, $x=1$ — целый корень уравнения.
Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на двучлен $(x-1)$. Это можно сделать, например, делением "уголком".
$(x^3 - 5x + 4) : (x - 1) = x^2 + x - 4$.
Уравнение можно переписать в виде: $(x-1)(x^2 + x - 4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ (целый корень).
2) $x^2 + x - 4 = 0$. Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Так как дискриминант $D=17$ не является точным квадратом целого числа, корни $x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ являются иррациональными.
Таким образом, исходное уравнение имеет только один целый корень.
Ответ: уравнение имеет один целый корень.

Сравнив результаты анализа всех уравнений, приходим к выводу, что только уравнение 4. $x^3 - 5x + 4 = 0$ имеет один и только один целый корень.

350. Решите возвратное уравнение

$10x^4 - 77x^3 + 150x^2 - 77x + 10 = 0.$

Данное уравнение является возвратным уравнением четвертой степени вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, поскольку коэффициенты, равноудаленные от концов, равны ($a=10$, $b=-77$).

Убедимся, что $x=0$ не является корнем уравнения. Подставив $x=0$ в уравнение, получим $10 = 0$, что является неверным равенством. Следовательно, $x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{10x^4}{x^2} - \frac{77x^3}{x^2} + \frac{150x^2}{x^2} - \frac{77x}{x^2} + \frac{10}{x^2} = 0$

$10x^2 - 77x + 150 - \frac{77}{x} + \frac{10}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(10x^2 + \frac{10}{x^2}) - (77x + \frac{77}{x}) + 150 = 0$

$10(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 77(x + \frac{1}{x}) + 150 = 0$

Введем новую переменную: пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, возведем замену в квадрат:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим новые выражения в уравнение:

$10(y^2 - 2) - 77y + 150 = 0$

$10y^2 - 20 - 77y + 150 = 0$

$10y^2 - 77y + 130 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = (-77)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 130 = 5929 - 5200 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{77 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{104}{20} = \frac{26}{5}$

$y_2 = \frac{77 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = \frac{26}{5}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$

Умножим обе части на $5x$ (так как $x \neq 0$):

$5x^2 + 5 = 26x$

$5x^2 - 26x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_1 = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни: $x_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$; $x_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Случай 2: $y = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $x_3 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$; $x_4 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $x \in \{\frac{1}{5}; \frac{1}{2}; 2; 5\}$.

351. Докажите, что если число $m$ является корнем уравнения $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Пусть дано уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа и $a \neq 0$.

По условию, число $m$ является корнем данного уравнения. Это означает, что при подстановке $x = m$ в уравнение получается верное числовое равенство:

$am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0$

Требуется доказать, что обратное число $1/m$ также является корнем этого уравнения. Для этого необходимо показать, что $a(1/m)^4 + b(1/m)^3 + c(1/m)^2 + b(1/m) + a = 0$.

Сначала докажем, что $m \neq 0$. Если предположить, что $m = 0$, то при подстановке этого значения в исходное уравнение получим $a \cdot 0^4 + b \cdot 0^3 + c \cdot 0^2 + b \cdot 0 + a = 0$, что приводит к равенству $a = 0$. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $a \neq 0$. Следовательно, $m \neq 0$, и выражение $1/m$ имеет смысл.

Поскольку $m \neq 0$, разделим обе части верного равенства $am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0$ на $m^4$ (так как $m^4 \neq 0$):

$\frac{am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a}{m^4} = \frac{0}{m^4}$

Разделив почленно левую часть равенства, получим:

$\frac{am^4}{m^4} + \frac{bm^3}{m^4} + \frac{cm^2}{m^4} + \frac{bm}{m^4} + \frac{a}{m^4} = 0$

После упрощения дробей это равенство принимает вид:

$a + b\left(\frac{1}{m}\right) + c\left(\frac{1}{m^2}\right) + b\left(\frac{1}{m^3}\right) + a\left(\frac{1}{m^4}\right) = 0$

Переставив слагаемые в порядке убывания степеней $(1/m)$, получим:

$a\left(\frac{1}{m}\right)^4 + b\left(\frac{1}{m}\right)^3 + c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = 0$

Это равенство показывает, что число $1/m$ удовлетворяет исходному уравнению. Таким образом, $1/m$ является корнем уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

352. Решите уравнение:

а) $x^5 - x^3 = 0$;

б) $x^6 = 4x^4$;

в) $0.5x^3 = 32x$;

г) $0.2x^4 = 4x^2$.

а) $x^5 - x^3 = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $x^3 = 0$, откуда следует, что $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

В результате мы нашли три корня уравнения.

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) $x^6 = 4x^4$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^6 - 4x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$x^4(x^2 - 4) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 4 = 0$. Используем формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ и $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

в) $0.5x^3 = 32x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$0.5x^3 - 32x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0.5x^2 - 32) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $0.5x^2 - 32 = 0$.

$0.5x^2 = 32$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{64}$

Получаем два корня: $x = 8$ и $x = -8$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 8$.

г) $0.2x^4 = 4x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$0.2x^4 - 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(0.2x^2 - 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $0.2x^2 - 4 = 0$.

$0.2x^2 = 4$

Разделим обе части на 0.2 (что эквивалентно умножению на 5):

$x^2 = \frac{4}{0.2} = 20$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{20}$

Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Получаем еще два корня: $x = 2\sqrt{5}$ и $x = -2\sqrt{5}$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2\sqrt{5}; 0; 2\sqrt{5}$.

353. Найдите корни уравнения:

a) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16;$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1.$

а) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$

Для решения левой части уравнения последовательно применим формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала сгруппируем первые два множителя:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь уравнение принимает вид:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$a^4 - 16 = 25a^2 - 16$
Прибавим 16 к обеим частям уравнения:
$a^4 = 25a^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 - 25a^2 = 0$
Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^2(a^2 - 25) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$a^2 = 0$ или $a^2 - 25 = 0$.
Из первого уравнения получаем корень $a_1 = 0$.
Второе уравнение $a^2 = 25$ имеет два корня: $a_2 = 5$ и $a_3 = -5$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; -5; 5$.

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$

Это уравнение решается аналогично предыдущему с использованием формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Упростим левую часть уравнения. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Уравнение примет вид:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:
$x^4 - 1 = 6x^2 - 1$
Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
$x^4 = 6x^2$
Перенесем все в левую часть:
$x^4 - 6x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $x^2 - 6 = 0$.
Из первого уравнения получаем корень $x_1 = 0$.
Второе уравнение $x^2 = 6$ имеет два корня: $x_2 = \sqrt{6}$ и $x_3 = -\sqrt{6}$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; -\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

354. Решите уравнение:

a) $x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0;$

б) $2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0;$

В) $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0;$

Г) $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0.$

а) $x^3 - x^2 - 4(x-1)^2 = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x-1) - 4(x-1)^2 = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)[x^2 - 4(x-1)] = 0$

Раскроем скобки внутри второй скобки:

$(x-1)(x^2 - 4x + 4) = 0$

Выражение во второй скобке является полным квадратом разности $(x-2)^2$:

$(x-1)(x-2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x-1 = 0$ или $(x-2)^2 = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

б) $2y^3 + 2y^2 - (y+1)^2 = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $2y^2$ за скобки:

$2y^2(y+1) - (y+1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(y+1)$ за скобки:

$(y+1)[2y^2 - (y+1)] = 0$

Раскроем скобки внутри второй скобки:

$(y+1)(2y^2 - y - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y+1 = 0 \implies y_1 = -1$

2) $2y^2 - y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_2 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_3 = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-1; -0.5; 1$.

в) $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена 40: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \dots$.

Подставим $x = -2$ в уравнение:

$5(-2)^3 - 19(-2)^2 - 38(-2) + 40 = 5(-8) - 19(4) + 76 + 40 = -40 - 76 + 76 + 40 = 0$

Так как равенство верное, $x_1 = -2$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен делится на $(x+2)$ без остатка. Выполним деление многочлена $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40$ на двучлен $(x+2)$ (например, столбиком или по схеме Горнера):

$(5x^3 - 19x^2 - 38x + 40) : (x+2) = 5x^2 - 29x + 20$

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(x+2)(5x^2 - 29x + 20) = 0$

Один корень мы уже нашли ($x_1 = -2$), теперь найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 29x + 20 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 841 - 400 = 441 = 21^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm 21}{2 \cdot 5}$

$x_2 = \frac{29+21}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$x_3 = \frac{29-21}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Ответ: $-2; \frac{4}{5}; 5$.

г) $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0$

Это возвратное уравнение третьей степени. Такие уравнения всегда имеют корень $x=-1$. Проверим:

$6(-1)^3 - 31(-1)^2 - 31(-1) + 6 = -6 - 31 + 31 + 6 = 0$

Равенство верное, значит $x_1 = -1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6$ на $(x+1)$:

$(6x^3 - 31x^2 - 31x + 6) : (x+1) = 6x^2 - 37x + 6$

Получаем уравнение:

$(x+1)(6x^2 - 37x + 6) = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $6x^2 - 37x + 6 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 \pm 35}{2 \cdot 6}$

$x_2 = \frac{37+35}{12} = \frac{72}{12} = 6$

$x_3 = \frac{37-35}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $-1; \frac{1}{6}; 6$.

355. Решите уравнение:

a) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$;

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$.

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения найдем один из его корней подбором среди делителей свободного члена (числа 2). Делителями являются числа $±1, ±2$.

Проверим $x = -1$:

$(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен в левой части уравнения делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ на двучлен $(x+1)$ (например, используя метод деления "в столбик" или схему Горнера). В результате деления получаем квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x+1)(x^2 + x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0$, что дает корень $x_1 = -1$.

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: -1.

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$

Как и в предыдущем случае, попробуем найти рациональный корень среди делителей свободного члена (-6). Делители: $±1, ±2, ±3, ±6$.

Проверим $x = -1$:

$(-1)^3 + 4(-1)^2 - 3(-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0$.

Корень $x = -1$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ на $(x+1)$.

В результате деления получаем $x^2 + 3x - 6$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(x^2 + 3x - 6) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.

2) $x^2 + 3x - 6 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$.

Дискриминант $D > 0$, поэтому уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Таким образом, получаем еще два корня: $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$ и $x_3 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$.

Всего уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $-1; \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.

356. Решите уравнение $x^3 = x$ двумя способами: графическим и аналитическим.

Графический способ

Чтобы решить уравнение $x^3 = x$ графически, нужно построить графики двух функций в одной системе координат: $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x$ (прямая). Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат, а также через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, которая также симметрична относительно начала координат и проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

При построении видно, что графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых легко определяются:

• Точка пересечения в третьей четверти с координатами $(-1, -1)$. Абсцисса $x = -1$.
• Точка пересечения в начале координат с координатами $(0, 0)$. Абсцисса $x = 0$.
• Точка пересечения в первой четверти с координатами $(1, 1)$. Абсцисса $x = 1$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков равны $-1$, $0$ и $1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.

Аналитический способ

Для решения уравнения $x^3 = x$ аналитически, перенесем все его члены в левую часть:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

или

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Мы получили три корня уравнения.

Ответ: $-1; 0; 1$.

357. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение $x^3 + ax + b = 0$ при различных значениях $a$ и $b$.

Количество решений уравнения $x^3 + ax + b = 0$ соответствует количеству точек пересечения графика кубической функции $y = f(x) = x^3 + ax + b$ с осью абсцисс (Ox). Для анализа формы графика и количества точек пересечения воспользуемся производной $f'(x) = 3x^2 + a$.

Одно решение

Уравнение имеет одно решение в двух основных случаях:

1. Если $a \ge 0$. В этом случае производная $f'(x) = 3x^2 + a$ всегда неотрицательна. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на всей числовой прямой. Монотонно возрастающая непрерывная функция пересекает ось Ox ровно один раз. Графически это выглядит как кубическая парабола, которая не имеет локальных экстремумов, а только постоянно растет.

2. Если $a < 0$, но локальные экстремумы функции (которые в этом случае существуют) находятся по одну сторону от оси Ox. Это происходит, когда значения функции в точках локального максимума и локального минимума имеют одинаковый знак. Это условие можно выразить через коэффициенты как $4a^3 + 27b^2 > 0$. Графически это означает, что "волна" на графике либо полностью находится выше оси Ox, либо полностью ниже, пересекая ось лишь один раз.

Ответ: уравнение имеет одно решение при $a \ge 0$ или при $a < 0$ и $4a^3 + 27b^2 > 0$.

Два решения

Уравнение имеет два решения, если график функции $f(x)$ касается оси Ox. Такое касание возможно только в точке локального экстремума. Это означает, что один из экстремумов (максимум или минимум) равен нулю. Это возможно только при $a < 0$, так как только в этом случае существуют экстремумы. Условие касания, выраженное через коэффициенты, имеет вид $4a^3 + 27b^2 = 0$. В этом случае одно из решений будет иметь кратность 2 (двойной корень).

Ответ: уравнение имеет два решения при $a < 0$ и $4a^3 + 27b^2 = 0$.

Три решения

Уравнение имеет три различных решения, если локальный максимум функции находится выше оси Ox, а локальный минимум — ниже. Это означает, что график функции пересекает ось Ox трижды. Такое возможно только при $a < 0$. Условие, при котором экстремумы лежат по разные стороны от оси Ox, выражается через коэффициенты как $4a^3 + 27b^2 < 0$.

Ответ: уравнение имеет три решения при $a < 0$ и $4a^3 + 27b^2 < 0$.