Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

331. Решите неравенство:

а) $2(x - 18)(x - 19) > 0$;

б) $-4(x + 0,9)(x - 3,2) < 0$;

в) $(7x + 21)(x - 8,5) \le 0$;

г) $(8 - x)(x - 0,3) \ge 0$.

а) $2(x - 18)(x - 19) > 0$

Для решения данного неравенства разделим обе его части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$(x - 18)(x - 19) > 0$

Воспользуемся методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 18)(x - 19) = 0$. Корнями являются $x_1 = 18$ и $x_2 = 19$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 18)$, $(18; 19)$ и $(19; +\infty)$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = (x - 18)(x - 19)$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Так как нас интересуют значения, где выражение строго больше нуля, решением будут интервалы, находящиеся за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; 18) \cup (19; +\infty)$

б) $-4(x + 0,9)(x - 3,2) < 0$

Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$(x + 0,9)(x - 3,2) > 0$

Применим метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 0,9)(x - 3,2) = 0$. Корнями являются $x_1 = -0,9$ и $x_2 = 3,2$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -0,9)$, $(-0,9; 3,2)$ и $(3,2; +\infty)$.

Парабола $y = (x + 0,9)(x - 3,2)$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, функция положительна на крайних интервалах и отрицательна на среднем.

Нас интересуют значения, где выражение больше нуля, что соответствует интервалам $(-\infty; -0,9)$ и $(3,2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,9) \cup (3,2; +\infty)$

в) $(7x + 21)(x - 8,5) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули левой части, решив уравнение $(7x + 21)(x - 8,5) = 0$.

Из первого множителя: $7x + 21 = 0 \Rightarrow 7x = -21 \Rightarrow x_1 = -3$.

Из второго множителя: $x - 8,5 = 0 \Rightarrow x_2 = 8,5$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки $x = -3$ и $x = 8,5$ являются частью решения. Отметим их на числовой оси.

Коэффициент при старшей степени $x$ положителен ($7 \cdot 1 = 7$), значит, парабола $y = (7x + 21)(x - 8,5)$ направлена ветвями вверх. Следовательно, значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Решением является отрезок, заключенный между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-3; 8,5]$

г) $(8 - x)(x - 0,3) \ge 0$

Для удобства приведем первый множитель к стандартному виду $(x-a)$. Для этого вынесем -1 за скобку в первом множителе:

$-(x - 8)(x - 0,3) \ge 0$

Теперь умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(x - 8)(x - 0,3) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x - 8)(x - 0,3) = 0$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = 0,3$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), корни $x=0,3$ и $x=8$ включаются в решение. Расположим их на числовой оси.

Парабола $y = (x - 8)(x - 0,3)$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Таким образом, решением является отрезок между корнями, включая концы.

Ответ: $x \in [0,3; 8]$

332. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)};$

б) $y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}.$

а) $y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)}$

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$(5 - x)(x + 8) \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5 - x)(x + 8) = 0$.

Корни уравнения:

$5 - x = 0 \implies x_1 = 5$

$x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$. Выражение $f(x) = (5 - x)(x + 8) = -x^2 - 3x + 40$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни также включаются в решение. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-8, 5]$.

Ответ: $x \in [-8, 5]$.

б) $y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}$

Аналогично, область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(x + 12)(x - 1)(x - 9) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x + 12)(x - 1)(x - 9)$.

Корни уравнения:

$x + 12 = 0 \implies x_1 = -12$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x - 9 = 0 \implies x_3 = 9$

Нанесем эти точки на числовую ось, что разделит ее на четыре интервала: $(-\infty; -12)$, $(-12; 1)$, $(1; 9)$ и $(9; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из интервалов:

– на интервале $(9, +\infty)$: все три множителя $(x+12)$, $(x-1)$, $(x-9)$ положительны, значит, произведение положительно (+).

– на интервале $(1, 9)$: множитель $(x-9)$ отрицателен, остальные положительны, значит, произведение отрицательно (-).

– на интервале $(-12, 1)$: множители $(x-1)$ и $(x-9)$ отрицательны, а $(x+12)$ положителен. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа положительно (+).

– на интервале $(-\infty, -12)$: все три множителя отрицательны, значит, их произведение отрицательно (-).

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая их концы, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, решением является объединение промежутков: $[-12, 1] \cup [9, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-12, 1] \cup [9, +\infty)$.

333. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $(2x+5)(x-17)$;

б) $\sqrt{x(x+9)(2x-8)}$?

a) Выражение $\sqrt{(2x+5)(x-17)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Запишем соответствующее неравенство:
$(2x+5)(x-17) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x+5)(x-17) = 0$:
$2x+5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x_1 = -2.5$
$x-17 = 0 \implies x_2 = 17$

Отметим корни на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения $(2x+5)(x-17)$ в каждом интервале:
- в интервале $(-\infty; -2.5)$ выражение положительно (например, при $x=-3$: $(2(-3)+5)(-3-17) = (-1)(-20) = 20 > 0$);
- в интервале $(-2.5; 17)$ выражение отрицательно (например, при $x=0$: $(2(0)+5)(0-17) = (5)(-17) = -85 < 0$);
- в интервале $(17; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=18$: $(2(18)+5)(18-17) = (41)(1) = 41 > 0$).

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаются интервалы, где выражение положительно, а также сами корни.
Таким образом, $x$ должен принадлежать объединению промежутков $(-\infty; -2.5]$ и $[17; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [17; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{x(x+9)(2x-8)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Запишем неравенство:
$x(x+9)(2x-8) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(x+9)(2x-8) = 0$:
$x_1 = 0$
$x+9 = 0 \implies x_2 = -9$
$2x-8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x_3 = 4$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-9$, $0$, $4$. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения $x(x+9)(2x-8)$ в каждом из них:
- в интервале $(-\infty; -9)$ выражение отрицательно (например, при $x=-10$: $(-10)(-1)(-28) < 0$);
- в интервале $(-9; 0)$ выражение положительно (например, при $x=-1$: $(-1)(8)(-10) > 0$);
- в интервале $(0; 4)$ выражение отрицательно (например, при $x=1$: $(1)(10)(-6) < 0$);
- в интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=5$: $(5)(14)(2) > 0$).

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаются интервалы, где выражение положительно, и сами корни.
Это промежутки $[-9; 0]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; 0] \cup [4; +\infty)$.

334. Решите неравенство:

а) $\frac{x-5}{x+6} < 0;$

б) $\frac{1.4-x}{x+3.8} < 0;$

в) $\frac{2x}{x-1.6} > 0;$

г) $\frac{5x-1.5}{x-4} > 0;$

д) $\frac{5x+1}{x-2} > 0;$

е) $\frac{3x}{2x+9} < 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x-5}{x+6} < 0$ методом интервалов.

Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-5=0 \implies x=5$. Нуль знаменателя: $x+6=0 \implies x=-6$.

Отмечаем точки $-6$ и $5$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки выколотые. Эти точки разбивают прямую на интервалы $(-\infty; -6)$, $(-6; 5)$, $(5; +\infty)$.

Определяем знаки выражения на интервалах. При $x > 5$ (например, при $x=10$), выражение $\frac{10-5}{10+6} > 0$ (знак "+"). Так как все корни ($-6$ и $5$) имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах чередуются. Справа налево: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "меньше 0", поэтому выбираем интервал со знаком "минус". Это интервал $(-6; 5)$.

Ответ: $x \in (-6; 5)$.

б) Решим неравенство $\frac{1,4-x}{x+3,8} < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{-(1,4-x)}{x+3,8} > 0 \implies \frac{x-1,4}{x+3,8} > 0$.

Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-1,4=0 \implies x=1,4$. Нуль знаменателя: $x+3,8=0 \implies x=-3,8$.

Отмечаем выколотые точки $-3,8$ и $1,4$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty; -3,8)$, $(-3,8; 1,4)$, $(1,4; +\infty)$.

Определяем знаки выражения $\frac{x-1,4}{x+3,8}$. При $x > 1,4$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Мы ищем решения для неравенства $\frac{x-1,4}{x+3,8} > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2x}{x-1,6} > 0$.

Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $2x=0 \implies x=0$. Нуль знаменателя: $x-1,6=0 \implies x=1,6$.

Отмечаем выколотые точки $0$ и $1,6$ на числовой прямой. Они образуют интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1,6)$, $(1,6; +\infty)$.

Определяем знаки выражения на интервалах. При $x > 1,6$ выражение положительно. Знаки чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "больше 0", поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x-1,5}{x-4} > 0$.

Находим нули. Нуль числителя: $5x-1,5=0 \implies 5x=1,5 \implies x=0,3$. Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$.

Отмечаем выколотые точки $0,3$ и $4$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; 0,3)$, $(0,3; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определяем знаки выражения. При $x > 4$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "больше 0", поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{5x+1}{x-2} > 0$.

Находим нули. Нуль числителя: $5x+1=0 \implies 5x=-1 \implies x=-0,2$. Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.

Отмечаем выколотые точки $-0,2$ и $2$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -0,2)$, $(-0,2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определяем знаки выражения. При $x > 2$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "больше 0", поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -0,2) \cup (2; +\infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{3x}{2x+9} < 0$.

Находим нули. Нуль числителя: $3x=0 \implies x=0$. Нуль знаменателя: $2x+9=0 \implies 2x=-9 \implies x=-4,5$.

Отмечаем выколотые точки $-4,5$ и $0$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -4,5)$, $(-4,5; 0)$, $(0; +\infty)$.

Определяем знаки выражения. При $x > 0$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "меньше 0", поэтому выбираем интервал со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-4,5; 0)$.

335. Решите неравенство:

а) $ \frac{x - 21}{x + 7} < 0; $

б) $ \frac{x + 4,7}{x - 7,2} > 0; $

в) $ \frac{6x + 1}{3 + x} > 0; $

г) $ \frac{5x}{4x - 12} < 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x-21}{x+7} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может поменять знак.
Нуль числителя: $x - 21 = 0 \Rightarrow x = 21$.
Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x = -7$ всегда является выколотой (не включается в решение).

2. Отметим точки $-7$ и $21$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), обе точки будут выколотыми.

3. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 21)$ и $(21; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале, подставив в выражение любое значение из этого интервала:
- При $x > 21$ (например, $x=22$): $\frac{22-21}{22+7} = \frac{1}{29} > 0$. Знак «+».
- При $-7 < x < 21$ (например, $x=0$): $\frac{0-21}{0+7} = -3 < 0$. Знак «-».
- При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{-8-21}{-8+7} = \frac{-29}{-1} = 29 > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь меньше нуля (имеет знак «-»). Этому условию соответствует интервал $(-7; 21)$.

Ответ: $x \in (-7; 21)$

б) Решим неравенство $\frac{x+4,7}{x-7,2} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 4,7 = 0 \Rightarrow x = -4,7$.
Нуль знаменателя: $x - 7,2 = 0 \Rightarrow x = 7,2$. Точка $x=7,2$ выколотая, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Отметим точки $-4,7$ и $7,2$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$).

3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -4,7)$, $(-4,7; 7,2)$ и $(7,2; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из них:
- При $x > 7,2$ (например, $x=10$): $\frac{10+4,7}{10-7,2} > 0$. Знак «+».
- При $-4,7 < x < 7,2$ (например, $x=0$): $\frac{0+4,7}{0-7,2} < 0$. Знак «-».
- При $x < -4,7$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4,7}{-5-7,2} = \frac{-0,3}{-12,2} > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь больше нуля (знак «+»). Этому условию соответствуют два интервала: $(-\infty; -4,7)$ и $(7,2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4,7) \cup (7,2; +\infty)$

в) Решим неравенство $\frac{6x+1}{3+x} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $6x + 1 = 0 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}$.
Нуль знаменателя: $3 + x = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка $x=-3$ выколотая.

2. Отметим точки $-3$ и $-\frac{1}{6}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -\frac{1}{6})$ и $(-\frac{1}{6}; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x > -\frac{1}{6}$ (например, $x=0$): $\frac{6 \cdot 0+1}{3+0} = \frac{1}{3} > 0$. Знак «+».
- При $-3 < x < -\frac{1}{6}$ (например, $x=-1$): $\frac{6(-1)+1}{3+(-1)} = \frac{-5}{2} < 0$. Знак «-».
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{6(-4)+1}{3+(-4)} = \frac{-23}{-1} = 23 > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь больше нуля (знак «+»). Этому соответствуют интервалы $(-\infty; -3)$ и $(-\frac{1}{6}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$

г) Решим неравенство $\frac{5x}{4x-12} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Нуль знаменателя: $4x - 12 = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$. Точка $x=3$ выколотая.

2. Отметим точки $0$ и $3$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из них:
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4 - 12} = \frac{20}{4} > 0$. Знак «+».
- При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $\frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1 - 12} = \frac{5}{-8} < 0$. Знак «-».
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{5(-1)}{4(-1)-12} = \frac{-5}{-16} > 0$. Знак «+».

4. Нас интересуют значения $x$, при которых дробь меньше нуля (знак «-»). Этому условию соответствует интервал $(0; 3)$.

Ответ: $x \in (0; 3)$

336. Найдите множество решений неравенства:

а) $\frac{x - 1}{x - 3} \ge 0;$ в) $\frac{2 - x}{x} \ge 0;$ д) $\frac{7x - 2}{1 - x} \ge 0;$

б) $\frac{x + 6}{x - 5} \le 0;$ г) $\frac{3 - 2x}{x - 1} \le 0;$ е) $\frac{1 - 11x}{2x - 3} \le 0.$

Для решения данных дробно-рациональных неравенств используется метод интервалов.

а) $ \frac{x-1}{x-3} \ge 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ x - 1 = 0 \implies x = 1 $. Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), эта точка является решением и на числовой оси отмечается закрашенной точкой.
Нуль знаменателя: $ x - 3 = 0 \implies x = 3 $. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения и отмечается выколотой точкой.

2. Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки выражения в полученных интервалах: $ (-\infty, 1) $, $ (1, 3) $ и $ (3, \infty) $.

• Для интервала $ (3, \infty) $, возьмем $ x=4 $: $ \frac{4-1}{4-3} = 3 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (1, 3) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{2-1}{2-3} = -1 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (-\infty, 1) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{0-1}{0-3} = \frac{1}{3} > 0 $. Знак «+».

3. Выбираем интервалы, удовлетворяющие знаку $ \ge 0 $. Это интервалы со знаком «+», включая закрашенную точку $ x=1 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 1] \cup (3, \infty) $.

б) $ \frac{x+6}{x-5} \le 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ x+6 = 0 \implies x = -6 $. Точка включается в решение ($ \le $).
Нуль знаменателя: $ x-5 = 0 \implies x = 5 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=-6 $ (закрашенная) и $ x=5 $ (выколотая) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, -6) $, $ (-6, 5) $ и $ (5, \infty) $.

• Для интервала $ (5, \infty) $, возьмем $ x=6 $: $ \frac{6+6}{6-5} = 12 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-6, 5) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{0+6}{0-5} = -\frac{6}{5} < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (-\infty, -6) $, возьмем $ x=-7 $: $ \frac{-7+6}{-7-5} = \frac{-1}{-12} > 0 $. Знак «+».

3. Выбираем интервалы со знаком «–», включая закрашенную точку $ x=-6 $.

Ответ: $ x \in [-6, 5) $.

в) $ \frac{2-x}{x} \ge 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 2-x = 0 \implies x = 2 $. Точка включается в решение ($ \ge $).
Нуль знаменателя: $ x = 0 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=0 $ (выколотая) и $ x=2 $ (закрашенная) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, 0) $, $ (0, 2) $ и $ (2, \infty) $.

• Для интервала $ (2, \infty) $, возьмем $ x=3 $: $ \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (0, 2) $, возьмем $ x=1 $: $ \frac{2-1}{1} = 1 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, 0) $, возьмем $ x=-1 $: $ \frac{2-(-1)}{-1} = -3 < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервал со знаком «+», включая закрашенную точку $ x=2 $.

Ответ: $ x \in (0, 2] $.

г) $ \frac{3-2x}{x-1} \le 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 3-2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5 $. Точка включается в решение ($ \le $).
Нуль знаменателя: $ x-1 = 0 \implies x = 1 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=1 $ (выколотая) и $ x=1.5 $ (закрашенная) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, 1) $, $ (1, 1.5) $ и $ (1.5, \infty) $.

• Для интервала $ (1.5, \infty) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{3-2(2)}{2-1} = -1 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (1, 1.5) $, возьмем $ x=1.2 $: $ \frac{3-2(1.2)}{1.2-1} = \frac{0.6}{0.2} = 3 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, 1) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{3-0}{0-1} = -3 < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервалы со знаком «–», включая закрашенную точку $ x=1.5 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 1) \cup [1.5, \infty) $.

д) $ \frac{7x-2}{1-x} \ge 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 7x-2 = 0 \implies 7x=2 \implies x = \frac{2}{7} $. Точка включается в решение ($ \ge $).
Нуль знаменателя: $ 1-x = 0 \implies x = 1 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=\frac{2}{7} $ (закрашенная) и $ x=1 $ (выколотая) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, \frac{2}{7}) $, $ (\frac{2}{7}, 1) $ и $ (1, \infty) $.

• Для интервала $ (1, \infty) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{7(2)-2}{1-2} = -12 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (\frac{2}{7}, 1) $, возьмем $ x=0.5 $: $ \frac{7(0.5)-2}{1-0.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, \frac{2}{7}) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{7(0)-2}{1-0} = -2 < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервал со знаком «+», включая закрашенную точку $ x=\frac{2}{7} $.

Ответ: $ x \in [\frac{2}{7}, 1) $.

е) $ \frac{1-11x}{2x-3} \le 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 1-11x = 0 \implies 11x=1 \implies x = \frac{1}{11} $. Точка включается в решение ($ \le $).
Нуль знаменателя: $ 2x-3 = 0 \implies 2x=3 \implies x = 1.5 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=\frac{1}{11} $ (закрашенная) и $ x=1.5 $ (выколотая) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, \frac{1}{11}) $, $ (\frac{1}{11}, 1.5) $ и $ (1.5, \infty) $.

• Для интервала $ (1.5, \infty) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{1-11(2)}{2(2)-3} = \frac{-21}{1} = -21 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (\frac{1}{11}, 1.5) $, возьмем $ x=1 $: $ \frac{1-11}{2-3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, \frac{1}{11}) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{1-0}{0-3} = -\frac{1}{3} < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервалы со знаком «–», включая закрашенную точку $ x=\frac{1}{11} $.

Ответ: $ x \in (-\infty, \frac{1}{11}] \cup (1.5, \infty) $.

337. Решите неравенство:

а) $\frac{x - 8}{x + 4} > 2;$

б) $\frac{3 - x}{x - 2} < 1;$

в) $\frac{7x - 1}{x} > 5;$

г) $\frac{6 - 2x}{x + 4} > 3.$

а) $\frac{x - 8}{x + 4} > 2$

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в одну сторону и приведем их к общему знаменателю, чтобы сравнить выражение с нулем. Важно помнить, что нельзя умножать неравенство на знаменатель, так как его знак неизвестен.

$\frac{x - 8}{x + 4} - 2 > 0$

$\frac{x - 8 - 2(x + 4)}{x + 4} > 0$

$\frac{x - 8 - 2x - 8}{x + 4} > 0$

$\frac{-x - 16}{x + 4} > 0$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{x + 16}{x + 4} < 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x + 16 = 0 \Rightarrow x = -16$.

Нуль знаменателя (точка разрыва): $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.

Отметим эти точки $(-16$ и $-4)$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки будут "выколотыми". Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -16)$, $(-16, -4)$ и $(-4, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x + 16}{x + 4}$ в каждом интервале. В интервале $(-16, -4)$ выражение отрицательно. Например, при $x = -10$, $\frac{-10 + 16}{-10 + 4} = \frac{6}{-6} = -1 < 0$. В двух других интервалах выражение будет положительным.

Поскольку мы ищем значения, где выражение меньше нуля, решением является интервал $(-16, -4)$.

Ответ: $x \in (-16, -4)$.

б) $\frac{3 - x}{x - 2} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3 - x}{x - 2} - 1 < 0$

$\frac{3 - x - (x - 2)}{x - 2} < 0$

$\frac{3 - x - x + 2}{x - 2} < 0$

$\frac{5 - 2x}{x - 2} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$.

Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки $2$ и $2.5$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 2.5)$ и $(2.5, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5 - 2x}{x - 2}$ в каждом интервале:

Для $x \in (-\infty, 2)$, например $x=0$, $\frac{5-0}{0-2} = -2.5 < 0$.

Для $x \in (2, 2.5)$, например $x=2.1$, $\frac{5-4.2}{2.1-2} = \frac{0.8}{0.1} = 8 > 0$.

Для $x \in (2.5, +\infty)$, например $x=3$, $\frac{5-6}{3-2} = -1 < 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 2)$ и $(2.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2.5, +\infty)$.

в) $\frac{7x - 1}{x} > 5$

Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{7x - 1}{x} - 5 > 0$

$\frac{7x - 1 - 5x}{x} > 0$

$\frac{2x - 1}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки $0$ и $0.5$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 0.5)$ и $(0.5, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x - 1}{x}$ в каждом интервале:

Для $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, $\frac{2(-1)-1}{-1} = 3 > 0$.

Для $x \in (0, 0.5)$, например $x=0.1$, $\frac{2(0.1)-1}{0.1} = -8 < 0$.

Для $x \in (0.5, +\infty)$, например $x=1$, $\frac{2(1)-1}{1} = 1 > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, 0)$ и $(0.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0.5, +\infty)$.

г) $\frac{6 - 2x}{x + 4} > 3$

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6 - 2x}{x + 4} - 3 > 0$

$\frac{6 - 2x - 3(x + 4)}{x + 4} > 0$

$\frac{6 - 2x - 3x - 12}{x + 4} > 0$

$\frac{-5x - 6}{x + 4} > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{5x + 6}{x + 4} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1.2$.

Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.

Отметим точки $-4$ и $-1.2$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, -1.2)$ и $(-1.2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5x + 6}{x + 4}$ в каждом интервале. В интервале $(-4, -1.2)$ выражение отрицательно. Например, при $x=-2$, $\frac{5(-2)+6}{-2+4} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$. В остальных интервалах выражение будет положительным.

Поскольку мы ищем значения, где выражение меньше нуля, решением является интервал $(-4, -1.2)$.

Ответ: $x \in (-4, -1.2)$.

338. Решите неравенство:

а) $ \frac{5x + 4}{x} < 4; $

б) $ \frac{6x + 1}{x + 1} > 1; $

в) $ \frac{x}{x - 1} \ge 2; $

г) $ \frac{3x - 1}{x + 2} \ge 1. $

а)
Перенесем 4 в левую часть неравенства:
$\frac{5x + 4}{x} - 4 < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5x + 4 - 4x}{x} < 0$
$\frac{x + 4}{x} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x = 0$
Отметим точки -4 и 0 на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки выражения $\frac{x+4}{x}$ в каждом из трех интервалов: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{1+4}{1} = 5 > 0$.
При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1+4}{-1} = -3 < 0$.
При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{-5} = \frac{-1}{-5} > 0$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-4, 0)$.

б)
Перенесем 1 в левую часть неравенства:
$\frac{6x + 1}{x + 1} - 1 > 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6x + 1 - (x + 1)}{x + 1} > 0$
$\frac{6x + 1 - x - 1}{x + 1} > 0$
$\frac{5x}{x + 1} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$5x = 0 \implies x = 0$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Отметим точки -1 и 0 на числовой прямой (обе выколотые).
Определим знаки выражения $\frac{5x}{x+1}$ в интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{5(1)}{1+1} = \frac{5}{2} > 0$.
При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{5(-0.5)}{-0.5+1} = \frac{-2.5}{0.5} < 0$.
При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{5(-2)}{-2+1} = \frac{-10}{-1} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

в)
Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{x}{x - 1} - 2 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0$
$\frac{x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0$
$\frac{-x + 2}{x - 1} \ge 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x - 2}{x - 1} \le 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=2$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=1$ выколотая (знаменатель).
Определим знаки выражения $\frac{x-2}{x-1}$ в интервалах: $(-\infty, 1)$, $(1, 2]$, $[2, +\infty)$.
При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3-2}{3-1} = \frac{1}{2} > 0$.
При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{1.5-2}{1.5-1} = \frac{-0.5}{0.5} < 0$.
При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-2}{0-1} = 2 > 0$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (1, 2]$.

г)
Перенесем 1 в левую часть неравенства:
$\frac{3x - 1}{x + 2} - 1 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0$
$\frac{3x - 1 - x - 2}{x + 2} \ge 0$
$\frac{2x - 3}{x + 2} \ge 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=\frac{3}{2}$ закрашенная, точка $x=-2$ выколотая.
Определим знаки выражения $\frac{2x-3}{x+2}$ в интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{3}{2}]$, $[\frac{3}{2}, +\infty)$.
При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$.
При $-2 < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.

339. Напишите уравнение прямой, которая:

a) проходит через начало координат и точку $A(0,6; -2,4)$;

б) пересекает оси координат в точках $B(0; 4)$ и $C(-2,5; 0)$.

а) Уравнение прямой в общем виде имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – точка пересечения с осью $y$ (y-перехват).

По условию, прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b$

Отсюда получаем, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$.

Также известно, что прямая проходит через точку $A(0,6; -2,4)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $k$:

$-2,4 = k \cdot 0,6$

Выразим $k$:

$k = \frac{-2,4}{0,6} = -4$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = -4x$.

Ответ: $y = -4x$

б) Снова используем общее уравнение прямой $y = kx + b$.

Прямая пересекает ось координат в точке $B(0; 4)$. Эта точка является точкой пересечения с осью $y$, поэтому ее ордината равна коэффициенту $b$.

Следовательно, $b = 4$.

Уравнение прямой принимает вид $y = kx + 4$.

Прямая также пересекает ось координат в точке $C(-2,5; 0)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$0 = k \cdot (-2,5) + 4$

Решим уравнение относительно $k$:

$-2,5k = -4$

$k = \frac{-4}{-2,5} = \frac{4}{2,5} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1,6$

Подставив найденное значение $k$ в уравнение, получаем окончательный вид: $y = 1,6x + 4$.

Ответ: $y = 1,6x + 4$