Номер 334, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

334. Решите неравенство:

а) $\frac{x-5}{x+6} < 0;$

б) $\frac{1.4-x}{x+3.8} < 0;$

в) $\frac{2x}{x-1.6} > 0;$

г) $\frac{5x-1.5}{x-4} > 0;$

д) $\frac{5x+1}{x-2} > 0;$

е) $\frac{3x}{2x+9} < 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x-5}{x+6} < 0$ методом интервалов.

Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-5=0 \implies x=5$. Нуль знаменателя: $x+6=0 \implies x=-6$.

Отмечаем точки $-6$ и $5$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки выколотые. Эти точки разбивают прямую на интервалы $(-\infty; -6)$, $(-6; 5)$, $(5; +\infty)$.

Определяем знаки выражения на интервалах. При $x > 5$ (например, при $x=10$), выражение $\frac{10-5}{10+6} > 0$ (знак "+"). Так как все корни ($-6$ и $5$) имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах чередуются. Справа налево: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "меньше 0", поэтому выбираем интервал со знаком "минус". Это интервал $(-6; 5)$.

Ответ: $x \in (-6; 5)$.

б) Решим неравенство $\frac{1,4-x}{x+3,8} < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{-(1,4-x)}{x+3,8} > 0 \implies \frac{x-1,4}{x+3,8} > 0$.

Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-1,4=0 \implies x=1,4$. Нуль знаменателя: $x+3,8=0 \implies x=-3,8$.

Отмечаем выколотые точки $-3,8$ и $1,4$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty; -3,8)$, $(-3,8; 1,4)$, $(1,4; +\infty)$.

Определяем знаки выражения $\frac{x-1,4}{x+3,8}$. При $x > 1,4$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Мы ищем решения для неравенства $\frac{x-1,4}{x+3,8} > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2x}{x-1,6} > 0$.

Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $2x=0 \implies x=0$. Нуль знаменателя: $x-1,6=0 \implies x=1,6$.

Отмечаем выколотые точки $0$ и $1,6$ на числовой прямой. Они образуют интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1,6)$, $(1,6; +\infty)$.

Определяем знаки выражения на интервалах. При $x > 1,6$ выражение положительно. Знаки чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "больше 0", поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x-1,5}{x-4} > 0$.

Находим нули. Нуль числителя: $5x-1,5=0 \implies 5x=1,5 \implies x=0,3$. Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$.

Отмечаем выколотые точки $0,3$ и $4$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; 0,3)$, $(0,3; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определяем знаки выражения. При $x > 4$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "больше 0", поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{5x+1}{x-2} > 0$.

Находим нули. Нуль числителя: $5x+1=0 \implies 5x=-1 \implies x=-0,2$. Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.

Отмечаем выколотые точки $-0,2$ и $2$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -0,2)$, $(-0,2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определяем знаки выражения. При $x > 2$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "больше 0", поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -0,2) \cup (2; +\infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{3x}{2x+9} < 0$.

Находим нули. Нуль числителя: $3x=0 \implies x=0$. Нуль знаменателя: $2x+9=0 \implies 2x=-9 \implies x=-4,5$.

Отмечаем выколотые точки $-4,5$ и $0$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -4,5)$, $(-4,5; 0)$, $(0; +\infty)$.

Определяем знаки выражения. При $x > 0$ выражение положительно. Знаки на интервалах чередуются: "+", "−", "+".

Неравенство имеет вид "меньше 0", поэтому выбираем интервал со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-4,5; 0)$.