Номер 329, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

329. Решите неравенство:

а) $(x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0;$

б) $x(x - 5)(x + 6) > 0;$

в) $(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0.$

а) $(x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$(x + 9)(x - 2)(x - 15) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x + 9 = 0 \implies x_1 = -9$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x - 15 = 0 \implies x_3 = 15$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 2)$, $(2; 15)$, $(15; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 20$:

$(20 + 9)(20 - 2)(20 - 15) = (+)(+)(+) > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем:

• Интервал $(15; +\infty)$: знак $+$
• Интервал $(2; 15)$: знак $-$
• Интервал $(-9; 2)$: знак $+$
• Интервал $(-\infty; -9)$: знак $-$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$), то есть те, где стоит знак минус. Это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(2; 15)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (2; 15)$.

б) $x(x - 5)(x + 6) > 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Находим корни, приравнивая левую часть к нулю:

$x(x - 5)(x + 6) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

$x + 6 = 0 \implies x_3 = -6$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 0, 5$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 5)$, $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$, взяв, например, $x = 10$:

$10(10 - 5)(10 + 6) = (+)(+)(+) > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются:

• Интервал $(5; +\infty)$: знак $+$
• Интервал $(0; 5)$: знак $-$
• Интервал $(-6; 0)$: знак $+$
• Интервал $(-\infty; -6)$: знак $-$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($> 0$), то есть те, где стоит знак плюс. Это интервалы $(-6; 0)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (5; +\infty)$.

в) $(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0$

Используем метод интервалов. Находим корни уравнения:

$(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) = 0$

Корни:

$x_1 = 1, x_2 = 4, x_3 = 8, x_4 = 16$.

Наносим корни на числовую ось. Они образуют пять интервалов: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$, $(4; 8)$, $(8; 16)$, $(16; +\infty)$.

Определяем знак в крайнем правом интервале $(16; +\infty)$, например, при $x = 20$:

$(20 - 1)(20 - 4)(20 - 8)(20 - 16) = (+)(+)(+)(+) > 0$.

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются:

• Интервал $(16; +\infty)$: знак $+$
• Интервал $(8; 16)$: знак $-$
• Интервал $(4; 8)$: знак $+$
• Интервал $(1; 4)$: знак $-$
• Интервал $(-\infty; 1)$: знак $+$

Мы ищем решения, где выражение меньше нуля ($< 0$), то есть интервалы со знаком минус. Это интервалы $(1; 4)$ и $(8; 16)$.

Ответ: $x \in (1; 4) \cup (8; 16)$.