Номер 328, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

328. Найдите, при каких значениях x:

а) произведение $(x + 48)(x - 37)(x - 42)$ положительно;

б) произведение $(x + 0.7)(x - 2.8)(x - 9.2)$ отрицательно.

а) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 48)(x - 37)(x - 42)$ положительно, необходимо решить неравенство:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдём корни уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни (нули функции):

$x + 48 = 0 \implies x_1 = -48$

$x - 37 = 0 \implies x_2 = 37$

$x - 42 = 0 \implies x_3 = 42$

Нанесём эти точки на числовую ось в порядке возрастания: -48, 37, 42. Эти точки делят ось на четыре интервала: $(-\infty; -48)$, $(-48; 37)$, $(37; 42)$ и $(42; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения в каждом интервале. Для этого можно взять любую точку из каждого интервала и подставить в выражение. Удобнее определить знак в крайнем правом интервале, а затем чередовать знаки, так как все корни имеют кратность 1.

Возьмём точку из интервала $(42; +\infty)$, например, $x = 50$:

$(50 + 48)(50 - 37)(50 - 42) = (98) \cdot (13) \cdot (8)$. Все множители положительны, значит, произведение положительно. Ставим знак «+».

При переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Таким образом, знаки на интервалах будут распределяться следующим образом (справа налево): «+», «-», «+», «-».

$(-\infty; -48)$: знак «-»
$(-48; 37)$: знак «+»
$(37; 42)$: знак «-»
$(42; +\infty)$: знак «+»

По условию задачи, произведение должно быть положительным ($> 0$). Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-48; 37) \cup (42; +\infty)$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2)$ отрицательно, необходимо решить неравенство:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём нули функции, решив уравнение:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) = 0$

Корни уравнения:

$x + 0,7 = 0 \implies x_1 = -0,7$

$x - 2,8 = 0 \implies x_2 = 2,8$

$x - 9,2 = 0 \implies x_3 = 9,2$

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -0,7; 2,8; 9,2. Точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 2,8)$, $(2,8; 9,2)$ и $(9,2; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(9,2; +\infty)$, взяв, например, $x=10$:

$(10 + 0,7)(10 - 2,8)(10 - 9,2) = (10,7) \cdot (7,2) \cdot (0,8)$. Все множители положительны, значит, произведение положительно. Ставим знак «+».

Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах будут чередоваться: «+», «-», «+», «-» (справа налево).

$(-\infty; -0,7)$: знак «-»
$(-0,7; 2,8)$: знак «+»
$(2,8; 9,2)$: знак «-»
$(9,2; +\infty)$: знак «+»

По условию задачи, произведение должно быть отрицательным ($< 0$). Выбираем интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -0,7) \cup (2,8; 9,2)$.