Номер 323, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

323. Решите уравнение:

а) $y^4 - 24y^2 - 25 = 0;

б) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0.$

а) $y^4 - 24y^2 - 25 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = y^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 24t - 25 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-24$, $c=-25$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{52}{2} = 25$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 25$ удовлетворяет условию $25 \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 25$:

$y^2 = 25$

Из этого уравнения находим два корня для $y$:

$y_1 = 5$, $y_2 = -5$.

Ответ: $-5; 5$.

б) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $z = x^2$, при этом $z \ge 0$.

Подставив $z$ в уравнение, получим квадратное уравнение:

$z^2 - 9z + 18 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Оба корня, $z_1 = 6$ и $z_2 = 3$, положительны, значит, оба удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $z$.

1. Если $z = 6$, то $x^2 = 6$, откуда $x_{1,2} = \pm \sqrt{6}$.

2. Если $z = 3$, то $x^2 = 3$, откуда $x_{3,4} = \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; \sqrt{6}$.