Номер 316, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 14. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 316, страница 91.

Условие.

316. Приведите контрпример для утверждения:

а) при любом значении y выражение $(5 - y)(1 - y) + 4$ принимает положительное значение;

б) при любом значении y выражение $(5 - y)(1 - y) + 1$ принимает положительное значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы опровергнуть утверждение, необходимо найти такое значение переменной $y$, при котором выражение $(5 - y)(1 - y) + 4$ будет неположительным (то есть равным нулю или отрицательным).
Для этого преобразуем данное выражение, раскрыв скобки:
$(5 - y)(1 - y) + 4 = 5 \cdot 1 - 5 \cdot y - y \cdot 1 + y \cdot y + 4 = 5 - 5y - y + y^2 + 4 = y^2 - 6y + 9$.
Мы получили квадратный трехчлен, который является полным квадратом разности:
$y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Утверждается, что выражение $(y - 3)^2$ всегда принимает положительное значение. Однако, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Значение выражения будет равно нулю, если основание степени равно нулю.
Найдем такое значение $y$:
$y - 3 = 0$
$y = 3$
При $y = 3$ значение выражения равно $(3 - 3)^2 = 0^2 = 0$. Число 0 не является положительным, следовательно, мы нашли контрпример, который опровергает исходное утверждение.
Проверим, подставив $y = 3$ в исходное выражение:
$(5 - 3)(1 - 3) + 4 = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0$.
Ответ: например, при $y = 3$ значение выражения равно 0, что не является положительным значением.

б) Чтобы опровергнуть утверждение, необходимо найти такое значение переменной $y$, при котором выражение $(5 - y)(1 - y) + 1$ будет неположительным.
Преобразуем данное выражение:
$(5 - y)(1 - y) + 1 = (5 - 5y - y + y^2) + 1 = y^2 - 6y + 5 + 1 = y^2 - 6y + 6$.
Рассмотрим полученную квадратичную функцию $f(y) = y^2 - 6y + 6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.
Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$:
$y_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Теперь найдем значение выражения при $y = 3$, чтобы определить его минимальное значение:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$.
Поскольку минимальное значение выражения равно $-3$, что является отрицательным числом, исходное утверждение неверно. Значение $y = 3$ является контрпримером.
Проверим, подставив $y = 3$ в исходное выражение:
$(5 - 3)(1 - 3) + 1 = 2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
Ответ: например, при $y = 3$ значение выражения равно $-3$, что не является положительным значением.