Номер 309, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

309. Решите неравенство:

а) $0,01x^2 \le 1;$

б) $\frac{1}{2}x^2 > 12;$

в) $4x \le -x^2;$

г) $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9};$

д) $5x^2 > 2x;$

е) $-0,3x < 0,6x^2.$

а) Решим неравенство $0,01x^2 \le 1$.
Разделим обе части неравенства на $0,01$. Так как $0,01 > 0$, знак неравенства сохраняется.
$x^2 \le \frac{1}{0,01}$
$x^2 \le 100$
Перенесем 100 в левую часть и разложим на множители по формуле разности квадратов:
$x^2 - 100 \le 0$
$(x - 10)(x + 10) \le 0$
Корнями соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 10) = 0$ являются $x_1 = -10$ и $x_2 = 10$.
Графиком функции $y = x^2 - 100$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[-10, 10]$.
Ответ: $x \in [-10, 10]$

б) Решим неравенство $\frac{1}{2}x^2 > 12$.
Умножим обе части неравенства на 2. Так как $2 > 0$, знак неравенства сохраняется.
$x^2 > 24$
Это неравенство равносильно совокупности $x > \sqrt{24}$ или $x < -\sqrt{24}$.
Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Таким образом, решение: $x < -2\sqrt{6}$ или $x > 2\sqrt{6}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}, +\infty)$

в) Решим неравенство $4x \le -x^2$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 + 4x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 4) \le 0$
Корнями соответствующего уравнения $x(x + 4) = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[-4, 0]$.
Ответ: $x \in [-4, 0]$

г) Решим неравенство $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$.
Умножим обе части неравенства на 3. Так как $3 > 0$, знак неравенства сохраняется.
$x^2 > \frac{3}{9}$
$x^2 > \frac{1}{3}$
Это неравенство равносильно совокупности $x > \sqrt{\frac{1}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{1}{3}}$.
Упростим корень, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, решение: $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$

д) Решим неравенство $5x^2 > 2x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$5x^2 - 2x > 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x - 2) > 0$
Корнями соответствующего уравнения $x(5x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{5}$.
Графиком функции $y = 5x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение: $x < 0$ или $x > \frac{2}{5}$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$

е) Решим неравенство $-0,3x < 0,6x^2$.
Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 < 0,6x^2 + 0,3x$
Это эквивалентно неравенству:
$0,6x^2 + 0,3x > 0$
Вынесем общий множитель $0,3x$ за скобки:
$0,3x(2x + 1) > 0$
Корнями соответствующего уравнения $0,3x(2x + 1) = 0$ являются $x_1 = -\frac{1}{2} = -0,5$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = 0,6x^2 + 0,3x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение: $x < -0,5$ или $x > 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -0,5) \cup (0, +\infty)$