Номер 306, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

306. Решите неравенство:

а) $2x^2 + 13x - 7 > 0$;

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$;

в) $6x^2 - 13x + 5 \le 0$;

г) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$;

д) $3x^2 - 2x > 0$;

е) $8 - x^2 < 0$.

а) $2x^2 + 13x - 7 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $2x^2 + 13x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 13x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2 > 0$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 0.5$.

Неравенство $2x^2 + 13x - 7 > 0$ выполняется, когда график функции находится выше оси Ox, то есть при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$.

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$9x^2 - 12x + 4 > 0$

Левая часть является полным квадратом: $(3x - 2)^2 > 0$.

Квадрат любого выражения, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(3x-2)^2$ равно нулю при $3x-2=0$, то есть при $x = \frac{2}{3}$.

Следовательно, неравенство $(3x-2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

в) $6x^2 - 13x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=6 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = 0.5$ и $x = \frac{5}{3}$.

Неравенство $6x^2 - 13x + 5 \le 0$ выполняется, когда график функции находится ниже или на оси Ox, то есть между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [0.5; \frac{5}{3}]$.

Ответ: $[0.5; \frac{5}{3}]$.

г) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:

$2x^2 + 5x - 18 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 18$ направлены вверх ($a=2 > 0$).

Неравенство $2x^2 + 5x - 18 \ge 0$ выполняется, когда график находится выше или на оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Решение: $x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4.5] \cup [2; +\infty)$.

д) $3x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 2) > 0$

Найдем корни уравнения $x(3x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x$ направлены вверх ($a=3 > 0$).

Неравенство выполняется, когда график функции находится выше оси Ox, то есть при $x$ левее $0$ и правее $\frac{2}{3}$.

Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

е) $8 - x^2 < 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:

$x^2 - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$.

$x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Корни: $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8$ направлены вверх ($a=1 > 0$).

Неравенство $x^2 - 8 > 0$ выполняется, когда график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Решение: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.