Номер 307, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

307. Найдите, при каких значениях x трёхчлен:

a) $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения;

б) $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения.

а) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство:

$2x^2 + 5x + 3 > 0$

Для этого сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые найдём по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 2$ положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1.5$ и $x = -1$. Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутках, где её график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1.5$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1; +\infty)$.

б) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство:

$-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Это выражение является полным квадратом суммы, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 = (x + \frac{1}{6})^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(x + \frac{1}{6})^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + \frac{1}{6})^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда выражение в скобках равно нулю:

$x + \frac{1}{6} = 0 \implies x = -\frac{1}{6}$

Во всех остальных случаях, то есть при $x \neq -\frac{1}{6}$, квадрат $(x + \frac{1}{6})^2$ будет строго положительным. Следовательно, неравенство $(x + \frac{1}{6})^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$.