Номер 304, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Решение неравенств второй степени с одной переменной. § 6. Неравенства с одной переменной. Глава 2. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 304, страница 90.

304. Решите неравенство:

а) $x^2 + 2x - 48 < 0;$

б) $2x^2 - 7x + 6 > 0;$

в) $-x^2 + 2x + 15 < 0;$

г) $-5x^2 + 11x - 6 > 0;$

д) $4x^2 - 12x + 9 > 0;$

е) $25x^2 + 30x + 9 < 0;$

ж) $-10x^2 + 9x > 0;$

з) $-2x^2 + 7x < 0.$

а) Для решения неравенства $x^2 + 2x - 48 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-8; 6)$.

б) Решим неравенство $2x^2 - 7x + 6 > 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ и $x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$).
Неравенство $y > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; \infty)$.

в) Решим неравенство $-x^2 + 2x + 15 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 15 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; \infty)$.

г) Решим неравенство $-5x^2 + 11x - 6 > 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $5x^2 - 11x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 - 120 = 1 = 1^2$.
Корни: $x_1 = \frac{11 - 1}{10} = 1$ и $x_2 = \frac{11 + 1}{10} = 1.2$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 6$ направлены вверх ($a=5 > 0$).
Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (1; 1.2)$.

д) Рассмотрим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$.
Выражение равно нулю при $2x - 3 = 0$, то есть при $x = 1.5$.
Следовательно, строгое неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 1.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; \infty)$.

е) Рассмотрим неравенство $25x^2 + 30x + 9 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $(5x + 3)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(5x + 3)^2 \ge 0$.
Таким образом, не существует действительных значений $x$, при которых это выражение было бы отрицательным.
Ответ: решений нет.

ж) Решим неравенство $-10x^2 + 9x > 0$. Найдем корни уравнения $-10x^2 + 9x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-10x + 9) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $-10x_2 + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 0.9$.
Ветви параболы $y = -10x^2 + 9x$ направлены вниз ($a = -10 < 0$).
Неравенство $y > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть между корнями.
Ответ: $x \in (0; 0.9)$.

з) Решим неравенство $-2x^2 + 7x < 0$. Найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-2x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $-2x_2 + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 3.5$.
Ветви параболы $y = -2x^2 + 7x$ направлены вниз ($a = -2 < 0$).
Неравенство $y < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; \infty)$.