Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Дайте определение биквадратного уравнения

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ – неизвестная переменная, $a$, $b$ и $c$ – числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). По сути, это частный случай алгебраического уравнения четвертой степени, в котором отсутствуют члены с нечетными степенями переменной ($x^3$ и $x^1$).

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Объясните, как решают биквадратное уравнение

Биквадратные уравнения решают методом введения новой переменной (методом замены), который позволяет свести исходное уравнение к обычному квадратному уравнению. Алгоритм решения состоит из следующих шагов:

1. Введение новой переменной. Вводят новую переменную, например $t$, полагая $t = x^2$. Важно отметить, что новая переменная не может быть отрицательной, то есть должно выполняться условие $t \ge 0$, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен.

2. Замена и получение квадратного уравнения. Выполняют подстановку в исходное уравнение. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$: $at^2 + bt + c = 0$.

3. Решение квадратного уравнения. Решают полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулы корней $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

4. Анализ корней и обратная замена. Анализируют найденные корни $t_1$ и $t_2$. Отбрасывают отрицательные корни, так как они не удовлетворяют условию $t \ge 0$. Для каждого неотрицательного корня $t_i$ выполняют обратную замену, решая простое уравнение $x^2 = t_i$.
— Если $t_i > 0$, уравнение $x^2 = t_i$ дает два корня: $x = \sqrt{t_i}$ и $x = -\sqrt{t_i}$.
— Если $t_i = 0$, уравнение $x^2 = 0$ дает один корень: $x = 0$.

5. Запись ответа. Все найденные значения $x$ и являются решением исходного биквадратного уравнения. Уравнение может иметь от нуля до четырех действительных корней.

Пример: Решим уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
1. Делаем замену $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
2. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 13t + 36 = 0$.
3. Находим его корни. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$. Корни $t_1 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = 4$ и $t_2 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = 9$.
4. Оба корня ($4$ и $9$) положительны, значит, оба подходят.
5. Выполняем обратную замену:
Для $t=4$ имеем $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Для $t=9$ имеем $x^2 = 9$, откуда $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.
Итоговые корни: $\{-3, -2, 2, 3\}$.

Ответ: Биквадратное уравнение решают путем замены $x^2 = t$. Это приводит его к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$. Далее находят неотрицательные корни $t$, и для каждого из них решают уравнение $x^2 = t$, находя таким образом корни исходного уравнения.