Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

303. На строительстве работали две бригады. После 5 дней совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект. Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней. За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем одной первой бригаде?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1. Пусть первая бригада может выполнить всю работу за $x$ дней, тогда ее производительность (часть работы в день) равна $\frac{1}{x}$.

По условию, второй бригаде на выполнение той же работы требуется на 12 дней меньше, то есть $x-12$ дней. Ее производительность равна $\frac{1}{x-12}$.

За 5 дней совместной работы две бригады выполнили часть работы, равную сумме их производительностей, умноженной на время: $5 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-12}\right)$

После этого первая бригада работала одна еще 9 дней. За это время она выполнила часть работы, равную: $9 \cdot \frac{1}{x}$

Сумма этих двух частей работы равна всему объему, то есть 1. Составим и решим уравнение: $5 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-12}\right) + \frac{9}{x} = 1$

Раскроем скобки и упростим выражение: $\frac{5}{x} + \frac{5}{x-12} + \frac{9}{x} = 1$ $\frac{14}{x} + \frac{5}{x-12} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-12)$: $\frac{14(x-12) + 5x}{x(x-12)} = 1$

Так как $x$ — это количество дней, то $x>0$. И так как второй бригаде требуется $x-12$ дней, то $x-12>0$, откуда $x>12$. При этом условии знаменатель не равен нулю, и мы можем умножить обе части уравнения на $x(x-12)$: $14(x-12) + 5x = x(x-12)$ $14x - 168 + 5x = x^2 - 12x$ $19x - 168 = x^2 - 12x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 12x - 19x + 168 = 0$ $x^2 - 31x + 168 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$ $\sqrt{D} = 17$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Проверим корни на соответствие условию $x>12$. Корень $x_1 = 24$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Таким образом, время выполнения работы первой бригадой составляет 24 дня.

Время выполнения работы второй бригадой: $x - 12 = 24 - 12 = 12$ дней.

Ответ: первая бригада могла бы выполнить всю работу за 24 дня, а вторая бригада — за 12 дней.

1 Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите пример.

Какое уравнение с одной переменной называется целым?

Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, обе части которого (левая и правая) являются целыми выражениями.

Целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Важнейший признак целого выражения — оно не содержит деления на переменную или на выражение с переменной.

Таким образом, если уравнение с переменной $x$ можно привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен (полином), то это уравнение является целым. Степень этого многочлена называется степенью уравнения.

Приведите пример.

Вот несколько примеров целых уравнений:

• Линейное уравнение: $7x - 14 = 0$
• Квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 3 = 0$
• Кубическое уравнение: $y^3 + 6y^2 = 25$
• Уравнение более высокой степени: $z^4 - 10z^2 + 9 = 0$

Для сравнения, уравнение $\frac{5}{x-1} = x$ не является целым, поскольку содержит деление на выражение $x-1$, которое включает переменную. Такое уравнение является дробно-рациональным.

Ответ: Целое уравнение с одной переменной — это уравнение, обе части которого являются целыми выражениями (т.е. многочленами, не содержащими деления на переменную). Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Как найти степень целого уравнения?

Чтобы найти степень целого уравнения, необходимо определить наибольший показатель степени переменной (или переменных) после того, как уравнение приведено к стандартному виду. Целым называется уравнение, в котором нет деления на переменную.

Определение

Степенью целого уравнения, приведенного к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен, называется степень этого многочлена. Степень многочлена, в свою очередь, — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов (слагаемых). Степень одночлена — это показатель степени его переменной.

Ответ: Степень целого уравнения – это наибольший показатель степени переменной в этом уравнении, после приведения его к стандартному виду $P(x) = 0$.

Алгоритм нахождения степени

1. Перенесите все члены уравнения в одну часть (обычно в левую), чтобы в другой части остался ноль. Уравнение примет вид $P(\text{переменные}) = 0$.
2. Раскройте все скобки и приведите подобные слагаемые в получившемся выражении. Это самый важный шаг, так как старшие степени могут сократиться.
3. Найдите член с наибольшим показателем степени. Этот показатель и будет степенью уравнения.

Пример: Найти степень уравнения $(x^3 + 2)^2 - x^6 = 4x^3 - 8$.

1. Перенесем все в левую часть:
$(x^3 + 2)^2 - x^6 - 4x^3 + 8 = 0$

2. Раскроем скобки и упростим. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 2 + 2^2 - x^6 - 4x^3 + 8 = 0$
$x^6 + 4x^3 + 4 - x^6 - 4x^3 + 8 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:
$(x^6 - x^6) + (4x^3 - 4x^3) + (4 + 8) = 0$
$0 + 0 + 12 = 0$
$12 = 0$

3. В результате упрощения все переменные сократились. Уравнение не имеет решений, и говорить о его степени в классическом понимании некорректно. Некоторые математики считают степень такого тождества равной $-\infty$ или неопределенной. Однако, если бы в результате осталось, например, $2x^2 + 5 = 0$, то степенью была бы 2.

Ответ: Для определения степени необходимо полностью упростить уравнение. Если переменные сокращаются, степень не определена; в противном случае она равна наибольшему показателю степени оставшейся переменной.

Уравнения с несколькими переменными

Если уравнение содержит несколько переменных (например, $x$ и $y$), то степенью каждого члена (одночлена) считается сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степенью всего уравнения будет наибольшая из степеней его членов.

Пример: Найти степень уравнения $x^3y^2 + 5x^4 - 2y^5 = 10$.

Уравнение уже в упрощенном виде $x^3y^2 + 5x^4 - 2y^5 - 10 = 0$.
Найдем степени его членов:

• Степень члена $x^3y^2$ равна $3 + 2 = 5$.
• Степень члена $5x^4$ равна $4$.
• Степень члена $-2y^5$ равна $5$.
• Степень члена $-10$ (или $-10x^0y^0$) равна $0$.

Наибольшая из этих степеней – 5.

Ответ: Степень уравнения $x^3y^2 + 5x^4 - 2y^5 = 10$ равна 5.

3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Дайте определение биквадратного уравнения

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ – неизвестная переменная, $a$, $b$ и $c$ – числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). По сути, это частный случай алгебраического уравнения четвертой степени, в котором отсутствуют члены с нечетными степенями переменной ($x^3$ и $x^1$).

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Объясните, как решают биквадратное уравнение

Биквадратные уравнения решают методом введения новой переменной (методом замены), который позволяет свести исходное уравнение к обычному квадратному уравнению. Алгоритм решения состоит из следующих шагов:

1. Введение новой переменной. Вводят новую переменную, например $t$, полагая $t = x^2$. Важно отметить, что новая переменная не может быть отрицательной, то есть должно выполняться условие $t \ge 0$, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен.

2. Замена и получение квадратного уравнения. Выполняют подстановку в исходное уравнение. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$: $at^2 + bt + c = 0$.

3. Решение квадратного уравнения. Решают полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулы корней $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

4. Анализ корней и обратная замена. Анализируют найденные корни $t_1$ и $t_2$. Отбрасывают отрицательные корни, так как они не удовлетворяют условию $t \ge 0$. Для каждого неотрицательного корня $t_i$ выполняют обратную замену, решая простое уравнение $x^2 = t_i$.
— Если $t_i > 0$, уравнение $x^2 = t_i$ дает два корня: $x = \sqrt{t_i}$ и $x = -\sqrt{t_i}$.
— Если $t_i = 0$, уравнение $x^2 = 0$ дает один корень: $x = 0$.

5. Запись ответа. Все найденные значения $x$ и являются решением исходного биквадратного уравнения. Уравнение может иметь от нуля до четырех действительных корней.

Пример: Решим уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
1. Делаем замену $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
2. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 13t + 36 = 0$.
3. Находим его корни. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$. Корни $t_1 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = 4$ и $t_2 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = 9$.
4. Оба корня ($4$ и $9$) положительны, значит, оба подходят.
5. Выполняем обратную замену:
Для $t=4$ имеем $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Для $t=9$ имеем $x^2 = 9$, откуда $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.
Итоговые корни: $\{-3, -2, 2, 3\}$.

Ответ: Биквадратное уравнение решают путем замены $x^2 = t$. Это приводит его к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$. Далее находят неотрицательные корни $t$, и для каждого из них решают уравнение $x^2 = t$, находя таким образом корни исходного уравнения.

4 Какое уравнение называется дробным рациональным? На примере уравнения $\frac{4}{x - 1} + \frac{1}{x - 3} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 4x + 3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Какое уравнение называется дробным рациональным?

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором одна или обе части являются дробными выражениями, то есть содержат переменную в знаменателе дроби. Общий вид такого уравнения можно свести к $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Ключевой особенностью является то, что переменная находится в знаменателе, что накладывает ограничения на возможные значения переменной (знаменатель не может быть равен нулю).

Ответ: Уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби, называется дробным рациональным.

На примере уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 4x + 3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений включает в себя несколько обязательных шагов. Рассмотрим их на данном примере.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ).

Это первый и самый важный шаг. Знаменатель дроби не может равняться нулю. Поэтому необходимо найти все значения $x$, при которых знаменатели в уравнении обращаются в ноль, и исключить их.

В нашем уравнении три знаменателя: $x-1$, $x-3$ и $x^2 - 4x + 3$.

• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
• $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
• $x^2 - 4x + 3 \neq 0$. Разложим этот квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета, его корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Значит, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Это условие дает те же ограничения: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое число, кроме $1$ и $3$.

2. Привести все дроби к общему знаменателю.

Общим знаменателем для всех дробей является выражение $(x-1)(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x-3)$, а второй — на $(x-1)$.

$\frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2 - 7}{(x-1)(x-3)}$

3. Избавиться от знаменателя и решить полученное целое уравнение.

Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x-3)$ (зная, что он не равен нулю в ОДЗ) и приравнять числители.

$4(x-3) + 1(x-1) = x^2 - 7$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x - 12 + x - 1 = x^2 - 7$

$5x - 13 = x^2 - 7$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 7 + 13 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 3$

4. Проверить корни на соответствие ОДЗ.

Мы получили два потенциальных решения: $x=2$ и $x=3$. Теперь необходимо проверить, входят ли они в область допустимых значений ($x \neq 1$ и $x \neq 3$).

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$. Значит, $x=2$ является решением исходного уравнения.
• Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x$ не может быть равен 3. Это посторонний корень, который появился в результате преобразований. Его необходимо исключить.

5. Записать ответ.

В ответ записываются только те корни, которые прошли проверку на соответствие ОДЗ.

Ответ: $x=2$.