Страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

288. При каких значениях a равно нулю значение дроби:

a) $ \frac{a^3 - 9a}{a^2 + a - 12} $;

б) $ \frac{a^5 + 2a^4}{a^3 + a + 10} $;

в) $ \frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16} $?

а)

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

1. Найдем значения $a$, при которых числитель $a^3 - 9a$ равен нулю:
$a^3 - 9a = 0$
$a(a^2 - 9) = 0$
$a(a - 3)(a + 3) = 0$
Отсюда получаем возможные значения: $a_1 = 0$, $a_2 = 3$, $a_3 = -3$.

2. Теперь найдем значения $a$, при которых знаменатель $a^2 + a - 12$ равен нулю, чтобы исключить их.
$a^2 + a - 12 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-1$. Это числа $3$ и $-4$.
Следовательно, знаменатель равен нулю при $a = 3$ и $a = -4$. Эти значения $a$ недопустимы.

3. Сравним значения, полученные в пункте 1, с недопустимыми значениями из пункта 2.
Значение $a = 3$ обращает в ноль и числитель, и знаменатель, поэтому оно не является решением.
Значения $a = 0$ и $a = -3$ обращают в ноль только числитель.

Ответ: $0; -3$.

б)

1. Найдем значения $a$, при которых числитель $a^5 + 2a^4$ равен нулю:
$a^5 + 2a^4 = 0$
$a^4(a + 2) = 0$
Отсюда получаем возможные значения: $a_1 = 0$, $a_2 = -2$.

2. Проверим, обращается ли знаменатель $a^3 + a + 10$ в ноль при этих значениях $a$.
При $a = 0$: $0^3 + 0 + 10 = 10 \neq 0$. Следовательно, $a=0$ является решением.
При $a = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$. Так как знаменатель равен нулю, значение $a=-2$ не является решением.

3. Единственное значение, при котором дробь равна нулю, это $a=0$.

Ответ: $0$.

в)

1. Найдем значения $a$, при которых числитель $a^5 - 4a^4 + 4a^3$ равен нулю:
$a^5 - 4a^4 + 4a^3 = 0$
$a^3(a^2 - 4a + 4) = 0$
$a^3(a - 2)^2 = 0$
Отсюда получаем возможные значения: $a_1 = 0$, $a_2 = 2$.

2. Теперь найдем значения $a$, при которых знаменатель $a^4 - 16$ равен нулю.
$a^4 - 16 = 0$
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = 0$
$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 0$
Множитель $a^2 + 4$ всегда положителен и не может быть равен нулю. Знаменатель равен нулю при $a = 2$ и $a = -2$. Эти значения $a$ недопустимы.

3. Сравним значения из пункта 1 с недопустимыми значениями из пункта 2.
Значение $a = 2$ обращает в ноль и числитель, и знаменатель, поэтому оно не является решением.
Значение $a = 0$ обращает в ноль только числитель.

Ответ: $0$.

289. Решите уравнение:

а) $\frac{5y^3 - 15y^2 - 2y + 6}{y^2 - 9} = 0;$

б) $\frac{3y^3 - 12y^2 - y + 4}{9y^4 - 1} = 0;$

в) $\frac{6x^3 + 48x^2 - 2x - 16}{x^2 - 64} = 0;$

г) $\frac{y^3 - 4y^2 - 6y + 24}{y^3 - 6y} = 0.$

а) $\frac{5y^3 - 15y^2 - 2y + 6}{y^2 - 9} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$y^2 - 9 \neq 0$

$(y-3)(y+3) \neq 0$

$y \neq 3$ и $y \neq -3$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$5y^3 - 15y^2 - 2y + 6 = 0$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$(5y^3 - 15y^2) - (2y - 6) = 0$

$5y^2(y - 3) - 2(y - 3) = 0$

$(y - 3)(5y^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$

или

$5y^2 - 2 = 0 \Rightarrow 5y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{2}{5} \Rightarrow y = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$

3. Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $y=3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корни $y = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{10}}{5}$.

б) $\frac{3y^3 - 12y^2 - y + 4}{9y^4 - 1} = 0$

1. Найдем ОДЗ:

$9y^4 - 1 \neq 0$

$(3y^2-1)(3y^2+1) \neq 0$

Так как $3y^2+1 > 0$ при любом $y$, то условие сводится к:

$3y^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow y^2 \neq \frac{1}{3} \Rightarrow y \neq \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$3y^3 - 12y^2 - y + 4 = 0$

Разложим на множители методом группировки:

$(3y^3 - 12y^2) - (y - 4) = 0$

$3y^2(y - 4) - 1(y - 4) = 0$

$(y - 4)(3y^2 - 1) = 0$

Отсюда:

$y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$

или

$3y^2 - 1 = 0 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корни $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ не удовлетворяют ОДЗ. Корень $y = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

в) $\frac{6x^3 + 48x^2 - 2x - 16}{x^2 - 64} = 0$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 64 \neq 0$

$(x-8)(x+8) \neq 0$

$x \neq 8$ и $x \neq -8$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$6x^3 + 48x^2 - 2x - 16 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$3x^3 + 24x^2 - x - 8 = 0$

Разложим на множители методом группировки:

$(3x^3 + 24x^2) - (x + 8) = 0$

$3x^2(x + 8) - 1(x + 8) = 0$

$(x + 8)(3x^2 - 1) = 0$

Отсюда:

$x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$

или

$3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=-8$ не удовлетворяет ОДЗ. Корни $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) $\frac{y^3 - 4y^2 - 6y + 24}{y^3 - 6y} = 0$

1. Найдем ОДЗ:

$y^3 - 6y \neq 0$

$y(y^2 - 6) \neq 0$

$y \neq 0$ и $y^2 \neq 6$, то есть $y \neq \pm\sqrt{6}$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$y^3 - 4y^2 - 6y + 24 = 0$

Разложим на множители методом группировки:

$(y^3 - 4y^2) - (6y - 24) = 0$

$y^2(y - 4) - 6(y - 4) = 0$

$(y - 4)(y^2 - 6) = 0$

Отсюда:

$y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$

или

$y^2 - 6 = 0 \Rightarrow y^2 = 6 \Rightarrow y = \pm\sqrt{6}$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корни $y = \pm\sqrt{6}$ не удовлетворяют ОДЗ. Корень $y=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.