Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

268. Докажите, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней.

Для того чтобы доказать, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней, проанализируем его левую часть.

Обратим внимание, что переменная $x$ входит в уравнение только в четных степенях: $x^6$, $x^4$ и $x^2$. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. Таким образом, для любого действительного значения $x$:

• $x^6 \ge 0$
• $x^4 \ge 0$
• $x^2 \ge 0$

Коэффициенты при этих слагаемых (5, 6 и 1) являются положительными числами. Произведение положительного числа на неотрицательное также является неотрицательным:

• $5x^6 \ge 0$
• $6x^4 \ge 0$
• $x^2 \ge 0$

Сумма нескольких неотрицательных слагаемых всегда является неотрицательной величиной: $5x^6 + 6x^4 + x^2 \ge 0$

Если к этому неотрицательному выражению прибавить положительное число 4, то итоговая сумма будет строго больше нуля. Точнее, она будет больше или равна 4: $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 0 + 4$ $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 4$

Мы получили, что левая часть уравнения при любом действительном $x$ всегда принимает значение, которое больше или равно 4. Следовательно, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Поскольку левая часть уравнения не может равняться нулю, то и само уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как его левая часть $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4$ при любом действительном значении $x$ всегда больше или равна 4, и, следовательно, не может быть равна 0.

269. Может ли отрицательное число быть корнем уравнения

$12x^5 + 7x^3 + 11x - 3 = 121$?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем данное уравнение:

$12x^5 + 7x^3 + 11x - 3 = 121$

Сначала упростим уравнение, перенеся свободный член $-3$ из левой части в правую:

$12x^5 + 7x^3 + 11x = 121 + 3$

$12x^5 + 7x^3 + 11x = 124$

Теперь рассмотрим левую часть уравнения. Обозначим ее как функцию $f(x) = 12x^5 + 7x^3 + 11x$. Нам нужно выяснить, может ли корень уравнения $x$ быть отрицательным числом.

Предположим, что $x$ — это отрицательное число, то есть $x < 0$.

1. Если $x < 0$, то $x^5$ также будет отрицательным, так как отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным. Следовательно, слагаемое $12x^5$ будет отрицательным, так как это произведение положительного числа на отрицательное.

2. Аналогично, если $x < 0$, то $x^3$ будет отрицательным. Следовательно, слагаемое $7x^3$ также будет отрицательным.

3. Слагаемое $11x$ также будет отрицательным, так как это произведение положительного числа $11$ на отрицательное $x$.

Таким образом, при любом отрицательном $x$ вся левая часть уравнения представляет собой сумму трех отрицательных слагаемых:

$f(x) = 12x^5 + 7x^3 + 11x = (\text{отрицательное число}) + (\text{отрицательное число}) + (\text{отрицательное число})$

Сумма трех отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Это означает, что при любом отрицательном значении $x$ левая часть уравнения будет строго отрицательной: $f(x) < 0$.

Правая часть уравнения равна $124$, что является положительным числом.

Следовательно, для любого отрицательного $x$ мы получаем, что левая часть уравнения отрицательна, а правая — положительна. Отрицательное число не может быть равно положительному, поэтому равенство не может выполняться.

Ответ: нет, отрицательное число не может быть корнем данного уравнения.

270. Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на $513 \text{ см}^3$. Чему равно ребро куба?

Пусть $a$ — длина ребра исходного куба в сантиметрах. Тогда его объём $V_1$ равен:
$V_1 = a^3$

Если ребро куба увеличить на 3 см, то его новая длина составит $(a + 3)$ см. Объём нового куба $V_2$ будет равен:
$V_2 = (a + 3)^3$

По условию задачи, объём увеличился на 513 см³. Это значит, что разница между новым и первоначальным объёмом равна 513:
$V_2 - V_1 = 513$

Подставим выражения для объёмов в это уравнение:
$(a + 3)^3 - a^3 = 513$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3 = 513$
$a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 513$

Упростим полученное выражение:
$9a^2 + 27a + 27 = 513$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, перенеся 513 в левую часть:
$9a^2 + 27a + 27 - 513 = 0$
$9a^2 + 27a - 486 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на их общий делитель — 9:
$a^2 + 3a - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их:
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Длина ребра куба не может быть отрицательной, поэтому корень $a_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, длина ребра исходного куба равна 6 см.

Ответ: 6 см.

271. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.

Пусть второе число равно $x$.

Согласно условию, первое число на 5 больше второго, следовательно, оно равно $x + 5$.

Куб первого числа — это $(x + 5)^3$, а куб второго числа — $x^3$. По условию, разность между кубом первого числа и кубом второго числа равна 3185. Составим и решим уравнение:

$(x + 5)^3 - x^3 = 3185$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 - x^3 = 3185$

Упростим полученное выражение:

$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 - x^3 = 3185$

Приведем подобные слагаемые:

$15x^2 + 75x + 125 = 3185$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$15x^2 + 75x + 125 - 3185 = 0$

$15x^2 + 75x - 3060 = 0$

Все коэффициенты в уравнении делятся на 15. Разделим обе части уравнения на 15 для его упрощения:

$x^2 + 5x - 204 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 25 + 816 = 841$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 29}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-5 - 29}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

Мы получили два возможных значения для второго числа. Найдем соответствующие им первые числа.

1. Если второе число $x_1 = 12$, то первое число равно $12 + 5 = 17$.
Проверка: $17^3 - 12^3 = 4913 - 1728 = 3185$. Верно.

2. Если второе число $x_2 = -17$, то первое число равно $-17 + 5 = -12$.
Проверка: $(-12)^3 - (-17)^3 = -1728 - (-4913) = -1728 + 4913 = 3185$. Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 17 и 12, или -12 и -17.

272. Решите уравнение:

а) $y^3 - 6y = 0;$

б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0;$

в) $x^3 + 3x = 3,5x^2;$

г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2;$

д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0;$

е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0;$

ж) $p^3 - p^2 = p - 1;$

з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x.$

а) $y^3 - 6y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y^2 - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$y = 0$ или $y^2 - 6 = 0$
Решим второе уравнение:
$y^2 = 6$
$y = \sqrt{6}$ или $y = -\sqrt{6}$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $y_1 = 0, y_2 = \sqrt{6}, y_3 = -\sqrt{6}$.

б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $6x^2$ за скобки:
$6x^2(x^2 + 0,6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$6x^2 = 0$ или $x^2 + 0,6 = 0$
Решим первое уравнение:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
Решим второе уравнение:
$x^2 = -0,6$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x = 0$.

в) $x^3 + 3x = 3,5x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - 3,5x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3,5x + 3) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^2 - 3,5x + 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3,5x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12,25 - 12 = 0,25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3,5 \pm \sqrt{0,25}}{2} = \frac{3,5 \pm 0,5}{2}$
$x_1 = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1,5, x_3 = 2$.

г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - 0,3x^2 - 0,1x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,3x - 0,1) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$. Умножим его на 10 для удобства: $10x^2 - 3x - 1 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 \pm 7}{20}$
$x_1 = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = 0,5$
$x_2 = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -0,2$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -0,2, x_2 = 0, x_3 = 0,5$.

д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$(9x^3 - 18x^2) + (-x + 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$9x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$:
$(x - 2)(9x^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
или
$9x^2 - 1 = 0 \implies 9x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{9} \implies x = \pm\frac{1}{3}$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = \frac{1}{3}, x_3 = 2$.

е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$
Отсюда $y = 0$ или $y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$.
Решим кубическое уравнение, сгруппировав его члены:
$(y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0$
$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$
$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$
Отсюда $y - 1 = 0 \implies y = 1$ или $y^2 - 16 = 0 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm4$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $y_1 = -4, y_2 = 0, y_3 = 1, y_4 = 4$.

ж) $p^3 - p^2 = p - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$
Сгруппируем члены:
$(p^3 - p^2) - (p - 1) = 0$
$p^2(p - 1) - 1(p - 1) = 0$
$(p - 1)(p^2 - 1) = 0$
Отсюда $p - 1 = 0 \implies p = 1$ или $p^2 - 1 = 0 \implies p^2 = 1 \implies p = \pm1$.
Корнями являются $p=1$ и $p=-1$. Обратите внимание, что $p=1$ является корнем кратности 2.
Ответ: $p_1 = -1, p_2 = 1$.

з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$:
$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.
Решим кубическое уравнение, сгруппировав его члены:
$(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$
$x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(x^2 - 1) = 0$
Отсюда $x - 3 = 0 \implies x = 3$ или $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm1$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1, x_4 = 3$.

273. Решите уравнение:

а) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0;$

б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x.$

а) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - x^2) + (18x - 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $x^2$, а из второй $6$:

$x^2(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(3x - 1)$, который также можно вынести за скобку:

$(x^2 + 6)(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$

2. $x^2 + 6 = 0 \implies x^2 = -6$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$2x^4 - 5x^3 - 18x^2 + 45x = 0$

Заметим, что каждый член уравнения содержит $x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^3 - 5x^2 - 18x + 45) = 0$

Это уравнение распадается на два: либо $x = 0$, либо выражение в скобках равно нулю. Таким образом, мы сразу находим один корень: $x_1 = 0$.

Теперь решим кубическое уравнение $2x^3 - 5x^2 - 18x + 45 = 0$. Применим метод группировки:

$(2x^3 - 5x^2) - (18x - 45) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой $x^2$, из второй $9$:

$x^2(2x - 5) - 9(2x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 5)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(2x - 5) = 0$

Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 3)(x + 3)$. Уравнение принимает вид:

$(x - 3)(x + 3)(2x - 5) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю, чтобы найти остальные корни:

1. $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

2. $x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

3. $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_4 = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; 0; 2.5; 3$.

274. Решите уравнение:

а) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0;$

б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0.$

а) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$

Данное уравнение является кубическим уравнением с целыми коэффициентами. Для нахождения его корней можно воспользоваться теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональные корни, то они являются делителями свободного члена ($-6$), деленными на делители старшего коэффициента (1).
Делители свободного члена $-6$: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Делители старшего коэффициента $1$: $\pm1$.
Таким образом, возможные рациональные корни уравнения: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Выполним проверку, подставляя эти значения в уравнение:
Пусть $P(x) = x^3 + 7x^2 - 6$.
При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 7(1)^2 - 6 = 1 + 7 - 6 = 2 \neq 0$.
При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.
Мы нашли один корень $x_1 = -1$. Это означает, что многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ делится на двучлен $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка.
Выполним деление многочлена на $(x+1)$ (например, используя схему Горнера или деление в столбик). В результате деления получим квадратный трехчлен $x^2 + 6x - 6$.
Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:
$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Один корень мы уже знаем: $x_1 = -1$.
Найдем остальные корни, решив квадратное уравнение $x^2 + 6x - 6 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = -3 + \sqrt{15}$ и $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $-1; -3 - \sqrt{15}; -3 + \sqrt{15}$.

б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$

Это также кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях.
Делители свободного члена $-5$: $\pm1, \pm5$.
Делители старшего коэффициента $1$: $\pm1$.
Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm5$.
Проверим эти значения:
Пусть $P(x) = x^3 + 4x^2 - 5$.
При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.
Мы нашли корень $x_1 = 1$. Следовательно, многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ делится на $(x-1)$ без остатка.
Выполним деление многочлена на $(x-1)$ и получим $x^2 + 5x + 5$.
Запишем уравнение в виде:
$(x-1)(x^2 + 5x + 5) = 0$.
Один корень известен: $x_1 = 1$.
Найдем остальные корни из квадратного уравнения $x^2 + 5x + 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.
Корни уравнения:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $1; \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.

275. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (Oy) и пересечение с осью абсцисс (Ox).

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Точка пересечения графика функции с осью ординат имеет абсциссу $x = 0$. Чтобы найти соответствующую ординату $y$, подставим это значение в уравнение функции:

$y = (0)^3 - 6(0)^2 + 11(0) - 6$

$y = 0 - 0 + 0 - 6 = -6$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -6)$.

Ответ: $(0; -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Точки пересечения графика с осью абсцисс имеют ординату $y = 0$. Для нахождения абсцисс этих точек необходимо решить уравнение:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Для его решения попробуем найти целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (в данном случае, числа -6). Делители числа -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Выполним проверку для $x = 1$:

$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x_1 = 1$ — первый корень уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ делится на двучлен $(x - 1)$ без остатка.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен на $(x - 1)$. Это можно сделать, например, по схеме Горнера или делением "уголком". В результате деления получим квадратный трехчлен:

$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Теперь решим получившееся квадратное уравнение, чтобы найти остальные корни:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

$x_2 = 2$ и $x_3 = 3$

Таким образом, график функции пересекает ось Ox в трех точках, абсциссы которых равны 1, 2 и 3.

Координаты точек пересечения с осью Ox: $(1; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.

276. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0;$

б) $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t);$

в) $(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40;$

г) $(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0.$

а) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = 2x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$y^2 - 12y + 11 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 11. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 1$, то:

$2x^2 + 3 = 1$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

2. Если $y = 11$, то:

$2x^2 + 3 = 11$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(t^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2t) - 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = t^2 - 2t$. Уравнение преобразуется к виду:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Используя теорему Виета, найдем корни: $y_1 \cdot y_2 = -3$ и $y_1 + y_2 = 2$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $y = 3$, то:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

2. Если $y = -1$, то:

$t^2 - 2t = -1$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(t - 1)^2 = 0$.

Отсюда $t - 1 = 0$, то есть $t_3 = 1$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $-1; 1; 3$.

в) $(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2 + x$. Введем новую переменную $y = x^2 + x$.

Подставив $y$ в уравнение, получим:

$(y - 1)(y + 2) = 40$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 2y - y - 2 = 40$

$y^2 + y - 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$, $y_1 \cdot y_2 = -42$. Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Теперь сделаем обратную замену.

1. Если $y = 6$, то:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

2. Если $y = -7$, то:

$x^2 + x = -7$

$x^2 + x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $-3; 2$.

г) $(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0$

Введем замену переменной для повторяющегося выражения $2x^2 + x$. Пусть $y = 2x^2 + x$.

Уравнение примет вид:

$(y - 1)(y - 4) + 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 4y - y + 4 + 2 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 5$, $y_1 \cdot y_2 = 6$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

1. Если $y = 2$, то:

$2x^2 + x = 2$

$2x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$.

То есть, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.

2. Если $y = 3$, то:

$2x^2 + x = 3$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

То есть, $x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $x_4 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-\frac{3}{2}; \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}; 1$.

277. Решите уравнение:

а) $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0;$

б) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0;$

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84.$

Данное уравнение $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$ является квадратным относительно выражения $(x^2 + 3)$. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде: $t^2 - 11t + 28 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 28. Отсюда находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 4$, то:
$x^2 + 3 = 4$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.

2) Если $t = 7$, то:
$x^2 + 3 = 7$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

Уравнение $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$ решается методом введения новой переменной.

Пусть $y = x^2 - 4x$. Тогда уравнение принимает вид: $y^2 + 9y + 20 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -9$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 20$. Корнями являются: $y_1 = -4$ и $y_2 = -5$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $y = -4$, то:
$x^2 - 4x = -4$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$.
Отсюда $x - 2 = 0$, и, следовательно, $x = 2$.

2) Если $y = -5$, то:
$x^2 - 4x = -5$
$x^2 - 4x + 5 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2$.

В уравнении $(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84$ также применим метод замены переменной.

Пусть $z = x^2 + x$. Подставим $z$ в уравнение: $z(z - 5) = 84$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду: $z^2 - 5z - 84 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $z$ по формуле корней: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 336}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{361}}{2}$.

Поскольку $\sqrt{361} = 19$, находим два значения для $z$: $z_1 = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$z_2 = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $z$.

1) Если $z = 12$, то:
$x^2 + x = 12$
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни этого уравнения: $x = 3$ и $x = -4$.

2) Если $z = -7$, то:
$x^2 + x = -7$
$x^2 + x + 7 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-4; 3$.

278. Решите биквадратное уравнение:

a) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0;$

б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0;$

в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0;$

г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0;$

д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0;$

е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0.$

а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-(-5) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию, так как $9 > 0$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$. Этот корень является посторонним.

Теперь выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 9$:

$x^2 = 9$

Отсюда находим корни исходного уравнения:

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 2$. Или через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$

$t_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$

Оба корня $t_1 = 4$ и $t_2 = 2$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $y^2 = 4 \Rightarrow y_{1,2} = \pm\sqrt{4} \Rightarrow y_1 = 2, y_2 = -2$.

2) $y^2 = 2 \Rightarrow y_{3,4} = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-2; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2$.

в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = t^2$, где $z \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$z^2 + 10z + 25 = 0$

Можно заметить, что левая часть является полным квадратом:

$(z + 5)^2 = 0$

Отсюда $z + 5 = 0 \Rightarrow z = -5$.

Полученный корень $z = -5$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Следовательно, уравнение $z^2 + 10z + 25 = 0$ не имеет неотрицательных корней, а значит и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 5t + 1 = 0$.

Решим его через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{4}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$.

2) $x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1$.

д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $9t^2 - 9t + 2 = 0$.

Решим его через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$

$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{9 - 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Оба корня, $t_1 = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{1}{3}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) $x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3}$.

е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$

Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид: $16t^2 - 8t + 1 = 0$.

Это формула квадрата разности:

$(4t - 1)^2 = 0$

Отсюда $4t - 1 = 0 \Rightarrow 4t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$.

Корень $t = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$y^2 = \frac{1}{4}$

$y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.

279. Найдите корни биквадратного уравнения:

а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0;$

б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0;$

в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0;$

г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0;$

д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0;$

е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0.$

а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного: $y^2 - 25y + 144 = 0$.
Решим это уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$.
Корни уравнения для $y$: $y_{1,2} = \frac{-(-25) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 \pm 7}{2}$.
$y_1 = \frac{25 + 7}{2} = 16$.
$y_2 = \frac{25 - 7}{2} = 9$.
Оба корня ($16$ и $9$) положительны, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
1) $x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{16} = \pm 4$.
2) $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.
Ответ: $\pm 3; \pm 4$.

б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $z = y^2$ ($z \ge 0$).
Получим квадратное уравнение: $z^2 + 14z + 48 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$.
$z_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-14 \pm 2}{2}$.
$z_1 = \frac{-14 + 2}{2} = -6$.
$z_2 = \frac{-14 - 2}{2} = -8$.
Оба корня для $z$ отрицательны, что не удовлетворяет условию $z \ge 0$. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0$
Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Уравнение примет вид: $y^2 - 4y + 4 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(y - 2)^2 = 0$.
Отсюда $y - 2 = 0$, то есть $y = 2$.
Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену: $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm\sqrt{2}$.

г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0$
Сделаем замену $z = t^2$ ($z \ge 0$). Получим квадратное уравнение: $z^2 - 2z - 3 = 0$.
Найдем его корни по теореме Виета: $z_1 + z_2 = 2$, $z_1 \cdot z_2 = -3$. Корнями являются $z_1 = 3$ и $z_2 = -1$.
Корень $z_2 = -1$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Остается один подходящий корень $z = 3$.
Выполним обратную замену: $t^2 = 3 \implies t = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$
Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Получим квадратное уравнение: $2y^2 - 9y + 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
$y_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}$.
$y_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$y_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\pm 2; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$
Сделаем замену $z = y^2$ ($z \ge 0$). Получим квадратное уравнение: $5z^2 - 5z + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 - 40 = -15$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение для $z$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное биквадратное уравнение также не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.