Номер 273, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

273. Решите уравнение:

а) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0;$

б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x.$

а) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - x^2) + (18x - 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $x^2$, а из второй $6$:

$x^2(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(3x - 1)$, который также можно вынести за скобку:

$(x^2 + 6)(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$

2. $x^2 + 6 = 0 \implies x^2 = -6$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$2x^4 - 5x^3 - 18x^2 + 45x = 0$

Заметим, что каждый член уравнения содержит $x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^3 - 5x^2 - 18x + 45) = 0$

Это уравнение распадается на два: либо $x = 0$, либо выражение в скобках равно нулю. Таким образом, мы сразу находим один корень: $x_1 = 0$.

Теперь решим кубическое уравнение $2x^3 - 5x^2 - 18x + 45 = 0$. Применим метод группировки:

$(2x^3 - 5x^2) - (18x - 45) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой $x^2$, из второй $9$:

$x^2(2x - 5) - 9(2x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 5)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(2x - 5) = 0$

Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 3)(x + 3)$. Уравнение принимает вид:

$(x - 3)(x + 3)(2x - 5) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю, чтобы найти остальные корни:

1. $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

2. $x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

3. $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_4 = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; 0; 2.5; 3$.