Номер 266, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

266. Решите уравнение:

а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38;$

б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3};$

в) $0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7;$

г) $x^4 - x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}.$

а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала перемножим первые два многочлена, а для второго выражения применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(8x \cdot 2x - 8x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot (-3)) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) = 38$
$(16x^2 - 24x - 2x + 3) - (16x^2 - 8x + 1) = 38$
Приведем подобные слагаемые в первых скобках:
$(16x^2 - 26x + 3) - (16x^2 - 8x + 1) = 38$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - 16x^2) + (-26x + 8x) + (3 - 1) = 38$
$-18x + 2 = 38$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$-18x = 38 - 2$
$-18x = 36$
Найдем $x$ путем деления обеих частей на -18:
$x = \frac{36}{-18}$
$x = -2$
Ответ: $-2$.

б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$

В числителе левой части уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Смешанную дробь в правой части преобразуем в неправильную: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{(15x)^2 - 1^2}{3} = \frac{8}{3}$
$\frac{225x^2 - 1}{3} = \frac{8}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$225x^2 - 1 = 8$
Перенесем -1 в правую часть:
$225x^2 = 8 + 1$
$225x^2 = 9$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{9}{225}$
Сократим дробь на 9:
$x^2 = \frac{1}{25}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{25}}$
$x_1 = \frac{1}{5}$, $x_2 = -\frac{1}{5}$
Ответ: $\pm\frac{1}{5}$.

в) $0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7$

Сначала раскроем скобки $(y+1)(y-3)$:
$(y + 1)(y - 3) = y^2 - 3y + y - 3 = y^2 - 2y - 3$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$0,5y^3 - 0,5y(y^2 - 2y - 3) = 7$
Теперь умножим $-0,5y$ на многочлен в скобках:
$0,5y^3 - (0,5y \cdot y^2 - 0,5y \cdot 2y - 0,5y \cdot 3) = 7$
$0,5y^3 - (0,5y^3 - y^2 - 1,5y) = 7$
Раскроем скобки:
$0,5y^3 - 0,5y^3 + y^2 + 1,5y = 7$
Приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 1,5y = 7$
Перенесем 7 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ay^2 + by + c = 0$:
$y^2 + 1,5y - 7 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$2y^2 + 3y - 14 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$
Ответ: $2; -3,5$.

г) $x^4 - x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}$

В числителе дроби в правой части уравнения применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, поменяв множители местами: $(2x^2 + 1)(2x^2 - 1)$.
$x^4 - x^2 = \frac{(2x^2)^2 - 1^2}{4}$
$x^4 - x^2 = \frac{4x^4 - 1}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4:
$4(x^4 - x^2) = 4x^4 - 1$
$4x^4 - 4x^2 = 4x^4 - 1$
Вычтем $4x^4$ из обеих частей уравнения:
$-4x^2 = -1$
Разделим обе части на -1 (или умножим):
$4x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.