Номер 261, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

261. Определите знак разности:

a) $\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{7}$; б) $\sqrt[5]{\frac{1}{2}} - \sqrt[5]{\frac{1}{3}}$; в) $1 - \sqrt[4]{0,99}$; г) $\sqrt[6]{0,28} - \sqrt[6]{\frac{2}{7}}$.

а) Для определения знака разности $\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{7}$ сравним числа $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt[3]{7}$. Функция $y=\sqrt[3]{x}$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что для любых $a$ и $b$, если $a < b$, то и $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$. В данном случае мы сравниваем значения функции для $a=6$ и $b=7$. Поскольку $6 < 7$, то из свойства возрастания функции следует, что $\sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{7}$. Так как из меньшего числа вычитается большее, разность $\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{7}$ будет отрицательной.
Ответ: минус (-).

б) Чтобы определить знак разности $\sqrt[5]{\frac{1}{2}} - \sqrt[5]{\frac{1}{3}}$, необходимо сравнить числа $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[5]{\frac{1}{3}}$. Функция $y=\sqrt[5]{x}$ является монотонно возрастающей. Сравним подкоренные выражения: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю $6$: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, а значит $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Поскольку функция $y=\sqrt[5]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[5]{\frac{1}{2}} > \sqrt[5]{\frac{1}{3}}$. Так как уменьшаемое больше вычитаемого, разность $\sqrt[5]{\frac{1}{2}} - \sqrt[5]{\frac{1}{3}}$ будет положительной.
Ответ: плюс (+).

в) Рассмотрим разность $1 - \sqrt[4]{0,99}$. Для сравнения представим число $1$ в виде корня четвертой степени: $1 = \sqrt[4]{1^4} = \sqrt[4]{1}$. Таким образом, нам нужно сравнить $\sqrt[4]{1}$ и $\sqrt[4]{0,99}$. Функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных значений $x$. Сравним подкоренные выражения: $1$ и $0,99$. Очевидно, что $1 > 0,99$. В силу возрастания функции $y=\sqrt[4]{x}$ имеем $\sqrt[4]{1} > \sqrt[4]{0,99}$, то есть $1 > \sqrt[4]{0,99}$. Следовательно, разность $1 - \sqrt[4]{0,99}$ положительна.
Ответ: плюс (+).

г) Определим знак разности $\sqrt[6]{0,28} - \sqrt[6]{\frac{2}{7}}$. Функция $y=\sqrt[6]{x}$ является монотонно возрастающей для $x \ge 0$. Сравним подкоренные выражения: $0,28$ и $\frac{2}{7}$. Для этого представим оба числа в одном формате, например, в виде обыкновенных дробей. $0,28 = \frac{28}{100} = \frac{7}{25}$. Теперь сравним дроби $\frac{7}{25}$ и $\frac{2}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $25 \times 7 = 175$: $\frac{7}{25} = \frac{7 \times 7}{25 \times 7} = \frac{49}{175}$ и $\frac{2}{7} = \frac{2 \times 25}{7 \times 25} = \frac{50}{175}$. Поскольку $49 < 50$, то $\frac{49}{175} < \frac{50}{175}$, а значит $0,28 < \frac{2}{7}$. Так как функция $y=\sqrt[6]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[6]{0,28} < \sqrt[6]{\frac{2}{7}}$. Следовательно, разность $\sqrt[6]{0,28} - \sqrt[6]{\frac{2}{7}}$ отрицательна.
Ответ: минус (-).