Номер 255, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

255. Постройте график функции:

а) $y = -x^3;$

б) $y = x^3 - 1;$

в) $y = (x - 2)^3;$

г) $y = (x - 2)^3 + 1;$

д) $y = -x^4;$

е) $y = x^4 - 1;$

ж) $y = (x - 3)^4;$

з) $y = (x - 3)^4 + 2.$

а) Для построения графика функции $y = -x^3$ необходимо взять за основу график базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола). График $y = x^3$ проходит через начало координат, симметричен относительно начала координат и возрастает на всей области определения. График функции $y = -x^3$ получается путем симметричного отражения графика $y = x^3$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Точки $(x, y)$ исходного графика переходят в точки $(x, -y)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$, а точка $(-2, -8)$ — в $(-2, 8)$.
Ответ: График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола $y=x^3$, отраженная симметрично относительно оси Ox.

б) График функции $y = x^3 - 1$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = x^3$ перемещается в точку $(x, y - 1)$. Центр симметрии графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(0, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^3 - 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 1 единицу вниз по оси Oy.

в) График функции $y = (x - 2)^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = x^3$ перемещается в точку $(x + 2, y)$. Центр симметрии графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси Ox.

г) Для построения графика функции $y = (x - 2)^3 + 1$ используются два преобразования графика $y = x^3$. Сначала выполняется сдвиг на 2 единицы вправо по оси Ox (что дает график $y = (x - 2)^3$), а затем — сдвиг на 1 единицу вверх по оси Oy. В результате этих преобразований центр симметрии исходной кубической параболы, точка $(0, 0)$, перемещается в точку $(2, 1)$.
Ответ: График функции $y = (x - 2)^3 + 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.

д) Для построения графика функции $y = -x^4$ необходимо взять за основу график базовой функции $y = x^4$. Этот график симметричен относительно оси Oy, имеет вершину в точке $(0, 0)$, а его ветви направлены вверх. График функции $y = -x^4$ получается путем симметричного отражения графика $y = x^4$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Вершина останется в точке $(0, 0)$, но ветви нового графика будут направлены вниз.
Ответ: График функции $y = -x^4$ — это график функции $y=x^4$, отраженный симметрично относительно оси Ox.

е) График функции $y = x^4 - 1$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Вершина графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(0, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^4 - 1$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси Oy.

ж) График функции $y = (x - 3)^4$ получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем его параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Вершина графика, точка $(0, 0)$, смещается в точку $(3, 0)$. Ось симметрии графика смещается с $x=0$ на $x=3$.
Ответ: График функции $y = (x - 3)^4$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox.

з) Для построения графика функции $y = (x - 3)^4 + 2$ используются два преобразования графика $y = x^4$. Сначала выполняется сдвиг на 3 единицы вправо по оси Ox (что дает график $y = (x - 3)^4$), а затем — сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy. В результате этих преобразований вершина исходного графика, точка $(0, 0)$, перемещается в точку $(3, 2)$.
Ответ: График функции $y = (x - 3)^4 + 2$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.