Номер 254, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

254. Существует ли такое натуральное значение $n$, при котором график функции $y = x^n$ проходит через точку:

а) A(2; 5);

б) B($\sqrt{3}$; 81);

в) C(-5; 415);

г) D(-7; -343)?

а) Чтобы график функции $y = x^n$ проходил через точку $A(2; 5)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x = 2$ и $y = 5$ в уравнение:
$5 = 2^n$
Здесь $n$ — натуральное число. Рассмотрим степени числа 2 с натуральными показателями:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
Мы видим, что $2^2 < 5 < 2^3$. Это означает, что не существует такого натурального числа $n$, при котором $2^n$ было бы равно 5. Значение $n$ было бы равно $\log_2 5$, что не является натуральным числом.
Ответ: нет, не существует.

б) Подставим координаты точки $B(\sqrt{3}; 81)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$81 = (\sqrt{3})^n$
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $81 = 3^4$.
$3^4 = (3^{1/2})^n$
Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:
$3^4 = 3^{n/2}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4 = \frac{n}{2}$
Отсюда находим $n$:
$n = 4 \cdot 2 = 8$
Число 8 является натуральным.
Ответ: да, существует, $n = 8$.

в) Подставим координаты точки $C(-5; 415)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$415 = (-5)^n$
Значение $y = 415$ положительно. Если основание степени отрицательное ($x = -5$), то результат может быть положительным только в том случае, если показатель степени $n$ — четное натуральное число.
При четном $n$ имеем $(-5)^n = 5^n$. Таким образом, уравнение принимает вид:
$415 = 5^n$
Рассмотрим степени числа 5:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
Число 415 не является степенью числа 5 ($125 < 415 < 625$). Кроме того, разложение числа 415 на простые множители — $415 = 5 \cdot 83$, что подтверждает, что оно не является степенью числа 5. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего этому уравнению.
Ответ: нет, не существует.

г) Подставим координаты точки $D(-7; -343)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$-343 = (-7)^n$
Значение $y = -343$ отрицательно. Если основание степени отрицательное ($x = -7$), то результат может быть отрицательным только в том случае, если показатель степени $n$ — нечетное натуральное число.
Проверим, является ли 343 степенью числа 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$
Таким образом, $343 = 7^3$.
Поскольку нам нужно, чтобы результат был отрицательным, а $n$ — нечетным, мы можем предположить, что $n=3$. Проверим это:
$(-7)^3 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot (-7) = -343$
Уравнение $-343 = (-7)^3$ верно. Число 3 является натуральным.
Ответ: да, существует, $n = 3$.