Номер 257, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

257. Найдите значение выражения:

a) $-0,5\sqrt[10]{1024}$;

б) $-\frac{2}{3}\sqrt[7]{-2187}$;

в) $1,5\sqrt[9]{512}$;

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt[5]{5\frac{4}{9}}$;

д) $\sqrt[3]{-125} \cdot \sqrt[7]{0,1^7}$;

е) $\sqrt[4]{16^{-2}} \cdot \sqrt[3]{0,125^3}$.

а) Для нахождения значения выражения $-0,5\sqrt[10]{1024}$ сначала вычислим корень. Так как $2^{10} = 1024$, то $\sqrt[10]{1024} = 2$. Затем умножим полученное значение на коэффициент $-0,5$:
$-0,5 \cdot \sqrt[10]{1024} = -0,5 \cdot 2 = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Рассмотрим выражение $-\frac{2}{3}\sqrt[7]{-2187}$. Поскольку показатель корня нечетный (7), можно извлекать его из отрицательного числа. Число $2187$ является седьмой степенью числа $3$, то есть $3^7 = 2187$. Следовательно, $(-3)^7 = -2187$.
$-\frac{2}{3} \cdot \sqrt[7]{-2187} = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt[7]{(-3)^7} = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2$.
Ответ: $2$.

в) Вычислим $1,5\sqrt[9]{512}$. Число $512$ - это $2$ в девятой степени: $2^9 = 512$. Поэтому корень девятой степени из $512$ равен $2$.
$1,5 \cdot \sqrt[9]{512} = 1,5 \cdot 2 = 3$.
Ответ: $3$.

г) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные, а затем извлечем корни.
$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$.
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9}$.
Теперь подставим их в исходное выражение и вычислим:
$\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} \cdot \sqrt{\frac{49}{9}} = \sqrt[5]{(\frac{3}{2})^5} \cdot \sqrt{(\frac{7}{3})^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

д) Вычислим каждый множитель по отдельности, используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n}=a$.
$\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.
$\sqrt[7]{0,1^7} = 0,1$.
Перемножим результаты:
$-5 \cdot 0,1 = -0,5$.
Ответ: $-0,5$.

е) Упростим каждый множитель, используя свойства степеней и корней.
Первый множитель: $\sqrt[4]{16^{-2}} = (16^{-2})^{\frac{1}{4}} = 16^{-2 \cdot \frac{1}{4}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.
Второй множитель: $\sqrt[3]{0,125^3} = 0,125$.
Перемножим полученные значения. Представим $0,125$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{8}$:
$\frac{1}{4} \cdot 0,125 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.