Номер 251, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

251. Даны функции $f(x) = x^7$ и $g(x) = x^{10}$. Сравните с нулём:

а) $f(25) - f(12);$

б) $f(-30) - f(-20);$

в) $f(0) \cdot f(60);$

г) $g(17) - g(5);$

д) $g(-9) \cdot g(-17);$

е) $g(38) - g(0).$

Для решения задачи проанализируем свойства данных функций $f(x) = x^7$ и $g(x) = x^{10}$.

Функция $f(x) = x^7$ является степенной функцией с нечетным показателем. Эта функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Также, знак функции $f(x)$ совпадает со знаком аргумента $x$: если $x>0$, то $f(x)>0$; если $x<0$, то $f(x)<0$; если $x=0$, то $f(x)=0$.

Функция $g(x) = x^{10}$ является степенной функцией с четным показателем. Эта функция является четной, то есть $g(-x) = g(x)$ для любого $x$. Она убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$. Значения функции неотрицательны для любого $x$, то есть $g(x) \geq 0$, и $g(x)=0$ только при $x=0$.

а)

Требуется сравнить с нулём выражение $f(25) - f(12)$. Так как функция $f(x) = x^7$ является строго возрастающей на всей числовой прямой и $25 > 12$, то $f(25) > f(12)$. Следовательно, разность $f(25) - f(12)$ будет положительной.

Ответ: больше нуля.

б)

Требуется сравнить с нулём выражение $f(-30) - f(-20)$. Так как функция $f(x) = x^7$ является строго возрастающей и $-30 < -20$, то $f(-30) < f(-20)$. Следовательно, разность $f(-30) - f(-20)$ будет отрицательной.

Ответ: меньше нуля.

в)

Требуется сравнить с нулём выражение $f(0) \cdot f(60)$. Найдем значение функции $f(x)$ при $x=0$: $f(0) = 0^7 = 0$. Произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому $f(0) \cdot f(60) = 0 \cdot 60^7 = 0$.

Ответ: равно нулю.

г)

Требуется сравнить с нулём выражение $g(17) - g(5)$. Аргументы $17$ и $5$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция $g(x) = x^{10}$ является возрастающей. Поскольку $17 > 5$, то $g(17) > g(5)$. Следовательно, разность $g(17) - g(5)$ будет положительной.

Ответ: больше нуля.

д)

Требуется сравнить с нулём выражение $g(-9) \cdot g(-17)$. Функция $g(x) = x^{10}$ принимает неотрицательные значения при любых $x$. Для любого ненулевого аргумента значение функции будет строго положительным. $g(-9) = (-9)^{10} > 0$. $g(-17) = (-17)^{10} > 0$. Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

Ответ: больше нуля.

е)

Требуется сравнить с нулём выражение $g(38) - g(0)$. Найдем значения функции в заданных точках: $g(38) = 38^{10}$ и $g(0) = 0^{10} = 0$. Тогда разность $g(38) - g(0) = 38^{10} - 0 = 38^{10}$. Так как $38^{10} > 0$, то и выражение больше нуля.

Ответ: больше нуля.