Номер 244, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

244. Найдите область значений функции:

a) $y = 3x^2 - 0.5x + \frac{1}{16};$

б) $y = 2x^2 + 1.2x + 2;$

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5.5;$

г) $y = -3x^2 - 2x - 4\frac{2}{3}.$

а) $y = 3x^2 - 0,5x + \frac{1}{16}$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -0,5$, $c = \frac{1}{16}$. Поскольку старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Область значений функции будет иметь вид $[y_0; +\infty)$, где $y_0$ — ордината вершины.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,5}{2 \cdot 3} = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции): $y_0 = y(x_0) = 3(\frac{1}{12})^2 - 0,5(\frac{1}{12}) + \frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{1}{144} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{1}{48} - \frac{1}{24} + \frac{1}{16}$. Приведем дроби к общему знаменателю 48: $y_0 = \frac{1}{48} - \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{1 - 2 + 3}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные $\frac{1}{24}$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{24}; +\infty)$.

б) $y = 2x^2 + 1,2x + 2$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 1,2$, $c = 2$. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция принимает наименьшее значение в вершине. Область значений: $[y_0; +\infty)$.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2 \cdot 2} = -\frac{1,2}{4} = -0,3$.

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = 2(-0,3)^2 + 1,2(-0,3) + 2 = 2 \cdot 0,09 - 0,36 + 2 = 0,18 - 0,36 + 2 = 1,82$.

Наименьшее значение функции равно $1,82$. Таким образом, область значений — это промежуток от $1,82$ до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [1,82; +\infty)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{1}{2}$, $b = 4$, $c = -5,5$. Так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Область значений: $(-\infty; y_0]$.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции): $y_0 = y(x_0) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - 5,5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 16 - 5,5 = -8 + 16 - 5,5 = 2,5$.

Наибольшее значение функции равно $2,5$. Следовательно, область значений — это все числа, меньшие или равные $2,5$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2,5]$.

г) $y = -3x^2 - 2x - 4\frac{2}{3}$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = -2$, $c = -4\frac{2}{3} = -\frac{14}{3}$. Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция принимает наибольшее значение в вершине. Область значений: $(-\infty; y_0]$.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = -3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) - \frac{14}{3} = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = \frac{-1+2-14}{3} = \frac{-13}{3} = -4\frac{1}{3}$.

Наибольшее значение функции равно $-4\frac{1}{3}$. Таким образом, область значений — это промежуток от $-\infty$ до $-4\frac{1}{3}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -4\frac{1}{3}]$.