Номер 247, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

247. Функция задана формулой $y = x^2 + px + q$. Найдите значения $p$ и $q$, если известно, что:

а) нули функции — числа 3 и 4;

б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0);

в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при $x = 6$.

а) нули функции — числа 3 и 4;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма корней $x_1 + x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($-p$), а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену ($q$).

Подставляем известные значения корней $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$:

$-p = x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7$, откуда $p = -7$.

$q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Ответ: $p = -7, q = 12$.

б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0);

Если график функции проходит через точки $(0; 6)$ и $(2; 0)$, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции $y = x^2 + px + q$. Составим и решим систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение.

Для точки $(0; 6)$:

$6 = 0^2 + p \cdot 0 + q \implies q = 6$.

Теперь, зная, что $q=6$, подставим в уравнение координаты точки $(2; 0)$:

$0 = 2^2 + p \cdot 2 + 6$

$0 = 4 + 2p + 6$

$0 = 10 + 2p$

$2p = -10 \implies p = -5$.

Ответ: $p = -5, q = 6$.

в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6.

Графиком функции $y = x^2 + px + q$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_0$ для функции $y = ax^2+bx+c$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=p$, поэтому $x_0 = -\frac{p}{2}$.

По условию, наименьшее значение достигается при $x = 6$, следовательно, абсцисса вершины $x_0=6$.

$6 = -\frac{p}{2} \implies p = -12$.

Наименьшее значение функции, равное 24, является ординатой вершины, то есть $y_0 = 24$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(6; 24)$. Подставим эти координаты и найденное значение $p$ в уравнение функции, чтобы найти $q$:

$24 = 6^2 + (-12) \cdot 6 + q$

$24 = 36 - 72 + q$

$24 = -36 + q$

$q = 24 + 36 = 60$.

Ответ: $p = -12, q = 60$.