Номер 252, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

252. Докажите, что при натуральном n:

а) если $x \in [0; 1]$, то $x^{n+1} \leq x^n$;

б) если $x \in (1; +\infty)$, то $x^{n+1} > x^n$.

а) Требуется доказать, что при натуральном $n$ и $x \in [0; 1]$ выполняется неравенство $x^{n+1} \le x^n$.

Преобразуем данное неравенство, перенеся все члены в одну сторону:

$x^n - x^{n+1} \ge 0$

Вынесем общий множитель $x^n$ за скобки:

$x^n(1 - x) \ge 0$

Рассмотрим это неравенство для всех $x$ из отрезка $[0; 1]$.

1. Если $x=0$, то неравенство принимает вид $0^n(1-0) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное утверждение.

2. Если $x=1$, то неравенство принимает вид $1^n(1-1) \ge 0$, то есть $1 \cdot 0 \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это также верное утверждение.

3. Если $x \in (0; 1)$, то есть $0 < x < 1$. В этом случае:

- Так как $x > 0$ и $n$ — натуральное число, то $x^n > 0$.

- Так как $x < 1$, то $1 - x > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($x^n$ и $1-x$) есть число положительное. Следовательно, $x^n(1 - x) > 0$. Это удовлетворяет неравенству $x^n(1 - x) \ge 0$.

Таким образом, мы показали, что неравенство выполняется для крайних точек отрезка ($x=0$ и $x=1$) и для всех внутренних точек ($x \in (0; 1)$). Следовательно, утверждение доказано для всех $x \in [0; 1]$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Требуется доказать, что при натуральном $n$ и $x \in (1; +\infty)$ выполняется неравенство $x^{n+1} > x^n$.

Преобразуем данное неравенство, перенеся все члены в одну сторону:

$x^{n+1} - x^n > 0$

Вынесем общий множитель $x^n$ за скобки:

$x^n(x - 1) > 0$

Рассмотрим это неравенство при условии, что $x \in (1; +\infty)$, то есть $x > 1$.

- Так как $x > 1$, то $x$ — положительное число. Поскольку $n$ — натуральное число, то и $x^n$ будет положительным числом: $x^n > 0$.

- Так как $x > 1$, то разность $x - 1$ будет положительной: $x - 1 > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($x^n$ и $x - 1$) всегда является положительным числом. Следовательно, $x^n(x - 1) > 0$.

Это доказывает исходное неравенство $x^{n+1} > x^n$ для всех $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.