Номер 250, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

250. Сравните значения степеней:

а) $2^{10}$ и $31^{10}$;

б) $0,3^{5}$ и $0,2^{5}$;

в) $(\frac{4}{5})^{17}$ и $(\frac{8}{9})^{17}$;

г) $(\frac{4}{9})^{10}$ и $(\frac{2}{3})^{20}$;

д) $3^{21}$ и $8^{7}$;

е) $1250^{3}$ и $36^{6}$.

а) Сравниваем значения степеней $2^{10}$ и $31^{10}$. В этом случае показатели степеней одинаковы и равны 10. Сравним основания: $2 < 31$. Для положительных оснований $a$ и $b$ и натурального показателя $n$ справедливо правило: если $a < b$, то $a^n < b^n$. Следовательно, $2^{10} < 31^{10}$.
Ответ: $2^{10} < 31^{10}$.

б) Сравниваем $0,3^5$ и $0,2^5$. Показатели степеней одинаковы и равны 5. Сравним основания: $0,3 > 0,2$. Так как основания положительны, больше то значение степени, у которого больше основание. Следовательно, $0,3^5 > 0,2^5$.
Ответ: $0,3^5 > 0,2^5$.

в) Сравниваем $(\frac{4}{5})^{17}$ и $(\frac{8}{9})^{17}$. Показатели степеней одинаковы и равны 17. Необходимо сравнить основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{8}{9}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 9 это 45.
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45}$
$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{40}{45}$
Так как $\frac{36}{45} < \frac{40}{45}$, то и $\frac{4}{5} < \frac{8}{9}$. Поскольку основания положительны, а показатели одинаковы, то $(\frac{4}{5})^{17} < (\frac{8}{9})^{17}$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^{17} < (\frac{8}{9})^{17}$.

г) Сравниваем $(\frac{4}{9})^{10}$ и $(\frac{2}{3})^{20}$. В этом случае и основания, и показатели степеней различны. Попробуем привести степени к одному основанию или одному показателю. Заметим, что основание первой дроби является квадратом второй: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Преобразуем первое выражение: $(\frac{4}{9})^{10} = ((\frac{2}{3})^2)^{10}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $((\frac{2}{3})^2)^{10} = (\frac{2}{3})^{2 \cdot 10} = (\frac{2}{3})^{20}$.
Теперь мы сравниваем $(\frac{2}{3})^{20}$ и $(\frac{2}{3})^{20}$. Эти выражения равны.
Ответ: $(\frac{4}{9})^{10} = (\frac{2}{3})^{20}$.

д) Сравниваем $3^{21}$ и $8^7$. Приведем степени к общему показателю. Заметим, что $21 = 3 \cdot 7$.
Преобразуем первое число: $3^{21} = 3^{3 \cdot 7} = (3^3)^7$.
Вычислим новое основание: $3^3 = 27$.
Таким образом, $3^{21} = 27^7$.
Теперь сравниваем $27^7$ и $8^7$. Показатели степеней равны, а основания $27 > 8$. Следовательно, $27^7 > 8^7$, а значит $3^{21} > 8^7$.
Ответ: $3^{21} > 8^7$.

е) Сравниваем $1250^3$ и $36^6$. Приведем степени к общему показателю. Заметим, что $6 = 2 \cdot 3$.
Преобразуем второе число: $36^6 = 36^{2 \cdot 3} = (36^2)^3$.
Вычислим новое основание: $36^2 = 1296$.
Таким образом, $36^6 = 1296^3$.
Теперь сравниваем $1250^3$ и $1296^3$. Показатели степеней равны, а основания $1250 < 1296$. Следовательно, $1250^3 < 1296^3$, а значит $1250^3 < 36^6$.
Ответ: $1250^3 < 36^6$.