Номер 245, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

245. Пусть $h$ (м) — высота, на которой находится брошенный с земли вверх мяч, $t$ (с) — время полёта мяча. Зависимость $h$ от $t$ выражается формулой $h = 24t - 4,9t^2$. Какой наибольшей высоты достиг мяч? В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался? Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Какой наибольшей высоты достиг мяч?

Зависимость высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) задана формулой $h(t) = 24t - 4,9t^2$. Эта функция является квадратичной, и её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-4,9 < 0$). Максимальное значение функции (наибольшая высота) достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы по оси времени $t$ находится по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$, где для нашей функции $a = -4,9$ и $b = 24$.

$t_в = -\frac{24}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{24}{9,8} = \frac{240}{98} = \frac{120}{49}$ c.

Это время, в которое мяч достигнет своей наивысшей точки. Чтобы найти саму наибольшую высоту $h_{макс}$, подставим это значение времени $t_в$ в исходную формулу:

$h_{макс} = h(\frac{120}{49}) = 24 \cdot (\frac{120}{49}) - 4,9 \cdot (\frac{120}{49})^2$

Выполним вычисления:

$h_{макс} = \frac{2880}{49} - 4,9 \cdot \frac{14400}{2401}$

Учитывая, что $4,9 = \frac{49}{10}$ и $2401 = 49^2$, получаем:

$h_{макс} = \frac{2880}{49} - \frac{49}{10} \cdot \frac{14400}{49^2} = \frac{2880}{49} - \frac{14400}{10 \cdot 49} = \frac{2880}{49} - \frac{1440}{49} = \frac{2880 - 1440}{49} = \frac{1440}{49}$ м.

В виде десятичной дроби это примерно $29,39$ м.

Ответ: Наибольшая высота, которой достиг мяч, равна $\frac{1440}{49}$ м (приблизительно 29,39 м).

В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался?

Мяч поднимается вверх с момента броска ($t=0$) до момента достижения максимальной высоты, который мы уже вычислили: $t_в = \frac{120}{49}$ с.

Следовательно, мяч поднимался в промежутке времени от $0$ до $\frac{120}{49}$ секунд.

Мяч опускается с момента достижения максимальной высоты до момента падения на землю. Чтобы найти время падения, нужно определить, когда высота $h$ снова станет равна нулю.

$h(t) = 0 \implies 24t - 4,9t^2 = 0$

$t(24 - 4,9t) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (момент броска) и $t_2$, которое находится из уравнения $24 - 4,9t = 0$.

$4,9t = 24 \implies t_2 = \frac{24}{4,9} = \frac{240}{49}$ с.

Таким образом, общее время полета мяча составляет $\frac{240}{49}$ секунд. Мяч опускался с момента $t_в = \frac{120}{49}$ с до момента падения $t_2 = \frac{240}{49}$ с.

Ответ: Мяч поднимался в промежуток времени $(0; \frac{120}{49})$ с и опускался в промежуток времени $(\frac{120}{49}; \frac{240}{49})$ с.

Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Время падения мяча на землю — это полное время его полета. Как было найдено в предыдущем пункте, это второй корень уравнения $h(t)=0$.

Уравнение $t(24 - 4,9t) = 0$ дает нам два момента времени, когда мяч находится на земле ($h=0$):

• $t_1 = 0$ с — начальный момент броска.
• $t_2 = \frac{240}{49}$ с — момент, когда мяч упал на землю после полета.

Приближенное значение времени полета: $\frac{240}{49} \approx 4,90$ с.

Ответ: Мяч упал на землю через $\frac{240}{49}$ секунд (приблизительно через 4,90 с) после броска.