Номер 241, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

241. При каких значениях $a$ и $c$ квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметров $a$ и $c$ квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули, необходимо решить уравнение $ax^2 + c = 0$ и определить условия, при которых это уравнение имеет действительные корни.

По определению, для квадратичной функции коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, следовательно, $a \ne 0$.

Рассмотрим уравнение: $ax^2 + c = 0$

Перенесем свободный член $c$ в правую часть: $ax^2 = -c$

Так как $a \ne 0$, разделим обе части уравнения на $a$: $x^2 = -\frac{c}{a}$

Данное уравнение имеет действительные корни для $x$ только в том случае, если его правая часть неотрицательна, то есть больше или равна нулю: $-\frac{c}{a} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{c}{a} \le 0$

Это неравенство означает, что дробь $\frac{c}{a}$ должна быть отрицательной или равной нулю. Если $c=0$, то $\frac{0}{a} = 0$, и неравенство $0 \le 0$ выполняется для любого $a \ne 0$. Если же $c \ne 0$, то для того, чтобы дробь была отрицательной, ее числитель $c$ и знаменатель $a$ должны иметь разные знаки. То есть, либо $a > 0$ и $c < 0$, либо $a < 0$ и $c > 0$.

Объединяя эти случаи, получаем, что коэффициенты $a$ и $c$ должны иметь противоположные знаки или $c$ должен быть равен нулю. Это условие можно записать в виде одного неравенства $ac \le 0$.

Таким образом, квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули, если $a \ne 0$ и произведение $ac$ является неположительным числом.

Ответ: при $a > 0$ и $c \le 0$, или при $a < 0$ и $c \ge 0$. Это также можно записать одним условием: $ac \le 0$ при $a \ne 0$.