Номер 236, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

236. Постройте график функции:

а) $f(x) = |x^2 - 2x|$;

б) $f(x) = x^2 - 2|x|$.

а) $f(x) = |x^2 - 2x|$

Для построения графика функции $f(x) = |x^2 - 2x|$ используется следующий алгоритм:

1. Сначала строится график функции, стоящей под знаком модуля, то есть $g(x) = x^2 - 2x$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

$y_0 = g(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$.

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Теперь применим операцию взятия модуля ко всей функции. График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $y = g(x)$ следующим образом:

• Часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси Ox (где $g(x) \ge 0$), остается без изменений. Это происходит при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
• Часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Это происходит на интервале $x \in (0, 2)$.

Таким образом, участок параболы между точками $(0, 0)$ и $(2, 0)$, включая вершину $(1, -1)$, отражается вверх. Новой вершиной этого участка станет точка $(1, 1)$.

Итоговый график будет полностью расположен в верхней полуплоскости ($f(x) \ge 0$).

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2 - 2x$, часть которой, лежащая ниже оси абсцисс на интервале $(0, 2)$, симметрично отражена относительно этой оси.

б) $f(x) = x^2 - 2|x|$

Для построения графика этой функции можно заметить, что она является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = f(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Рассмотрим функцию при $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, по определению модуля, $|x| = x$. Функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 2x$.

Это та же парабола, что и в пункте а), с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$.

Мы строим эту параболу только для $x \ge 0$. График начинается в точке $(0,0)$, опускается до своей вершины $(1,-1)$, а затем поднимается вверх, проходя через точку $(2,0)$.

2. Построение полного графика.

Теперь, используя свойство четности, отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy.

• Точка $(0,0)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.
• Вершина $(1, -1)$ отразится в точку $(-1, -1)$.
• Точка пересечения $(2, 0)$ отразится в точку $(-2, 0)$.

Можно также рассмотреть случай $x < 0$ напрямую. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция имеет вид $f(x) = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_0 = -2/(2 \cdot 1) = -1$, $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = -1$. Вершина — $(-1, -1)$. Эта часть графика строится для $x < 0$.

Соединив обе части, мы получим итоговый график, который напоминает букву "W".

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$, а для $x < 0$ — с графиком параболы $y = x^2 + 2x$.