Номер 232, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

232. Докажите, что графики функций $y = ax^2$ и $y = ax$, где $a \neq 0$, пересекаются в точке $(1; a)$. В какой ещё точке пересекаются эти графики?

Докажите, что графики функций $y = ax^2$ и $y = ax$, где $a \neq 0$, пересекаются в точке $(1; a)$

Чтобы доказать, что графики функций пересекаются в указанной точке, нужно показать, что координаты этой точки удовлетворяют обоим уравнениям функций.

1. Проверим, принадлежит ли точка $(1; a)$ графику функции $y = ax^2$. Для этого подставим $x = 1$ и $y = a$ в уравнение:

$a = a \cdot (1)^2$

$a = a \cdot 1$

$a = a$

Равенство верное, значит, точка $(1; a)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$.

2. Проверим, принадлежит ли точка $(1; a)$ графику функции $y = ax$. Для этого подставим $x = 1$ и $y = a$ в уравнение:

$a = a \cdot 1$

$a = a$

Равенство также верное, значит, точка $(1; a)$ принадлежит графику функции $y = ax$.

Так как координаты точки $(1; a)$ удовлетворяют обоим уравнениям, эта точка является точкой пересечения их графиков.

Ответ: Координаты точки $(1; a)$ удовлетворяют обоим уравнениям, что доказывает факт пересечения графиков в этой точке.

В какой ещё точке пересекаются эти графики?

Чтобы найти все точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. Для этого приравняем правые части уравнений:

$ax^2 = ax$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ax^2 - ax = 0$

Вынесем общий множитель $ax$ за скобки:

$ax(x - 1) = 0$

По условию задачи $a \neq 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x = 0$

2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Значение $x = 1$ соответствует точке $(1; a)$, которая была дана в условии. Чтобы найти вторую точку пересечения, найдем соответствующее значение $y$ для $x = 0$. Подставим $x=0$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = ax$:

$y = a \cdot 0 = 0$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.