Номер 225, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

225. Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена $mx^2 + (m - 3)x - 3.$

Для нахождения корней трёхчлена $mx^2 + (m - 3)x - 3$ приравняем его к нулю. По условию, $m$ — целое число, и мы ищем целые корни $x$.

$mx^2 + (m - 3)x - 3 = 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение путём группировки слагаемых:

$mx^2 + mx - 3x - 3 = 0$

$(mx^2 + mx) - (3x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$mx(x + 1) - 3(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(mx - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1. Первый случай: $x + 1 = 0$

Из этого уравнения находим корень:

$x = -1$

Этот корень является целым числом. Он не зависит от значения параметра $m$. Чтобы убедиться в этом, можно подставить $x=-1$ в исходное уравнение: $m(-1)^2 + (m-3)(-1) - 3 = m - (m-3) - 3 = m - m + 3 - 3 = 0$. Равенство $0=0$ верно при любом целом $m$. Таким образом, $x=-1$ всегда является корнем.

2. Второй случай: $mx - 3 = 0$

Из этого уравнения получаем $mx = 3$.

Если $m = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что является неверным равенством и не имеет решений. Однако при $m=0$ у нас остаётся корень $x=-1$ из первого случая (исходное уравнение при $m=0$ имеет вид $-3x-3=0$, откуда $x=-1$).

Если $m \neq 0$, то мы можем выразить $x$:

$x = \frac{3}{m}$

Поскольку мы ищем целые корни $x$, а $m$ по условию является целым числом, то $x$ будет целым только в том случае, если $m$ является целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$.

Найдём соответствующие целые корни $x$ для каждого возможного значения $m$:

- при $m = 1$, $x = \frac{3}{1} = 3$;

- при $m = -1$, $x = \frac{3}{-1} = -3$;

- при $m = 3$, $x = \frac{3}{3} = 1$;

- при $m = -3$, $x = \frac{3}{-3} = -1$.

Объединяя все найденные в обоих случаях возможные целые корни, получаем множество: $\{-1, 3, -3, 1\}$.

Ответ: $\{-3, -1, 1, 3\}$.