Номер 224, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

224. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $0.8x^2 - 19.8x - 5;$

б) $3.5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2;$

в) $x^2 + x\sqrt{2} - 2;$

г) $x^2 - x\sqrt{6} + 1.$

а)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $0.8x^2 - 19.8x - 5$. Найдём корни уравнения $0.8x^2 - 19.8x - 5 = 0$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$8x^2 - 198x - 50 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$4x^2 - 99x - 25 = 0$

Теперь найдём корни с помощью дискриминанта. Здесь $a=4$, $b=-99$, $c=-25$.

$D = b^2 - 4ac = (-99)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 9801 + 400 = 10201$

$\sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 101}{2 \cdot 4} = \frac{200}{8} = 25$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 101}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Подставляем корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a = 0.8$:

$0.8(x - 25)(x - (-\frac{1}{4})) = 0.8(x - 25)(x + \frac{1}{4})$

Для более удобного вида можно преобразовать выражение:

$0.8(x - 25)(x + \frac{1}{4}) = 0.2 \cdot 4 \cdot (x - 25)(x + \frac{1}{4}) = 0.2(x-25) \cdot 4(x + \frac{1}{4}) = 0.2(x-25)(4x+1)$

Ответ: $0.2(x - 25)(4x + 1)$

б)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $3.5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2$. Запишем его в стандартном виде и преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби:

$\frac{2}{3}x^2 - 3\frac{1}{3}x + 3.5 = \frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2}$

Найдём корни уравнения $\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2} = 0$.

Умножим уравнение на наименьший общий знаменатель (6), чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2}) = 0$

$4x^2 - 20x + 21 = 0$

Найдём корни через дискриминант ($a=4, b=-20, c=21$):

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 21 = 400 - 336 = 64$

$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a = \frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$

Можно представить ответ в виде с целыми коэффициентами в скобках:

$\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2}) = \frac{1}{6} \cdot 2(x - \frac{7}{2}) \cdot 2(x - \frac{3}{2}) = \frac{1}{6}(2x-7)(2x-3)$

Ответ: $\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$ или $\frac{1}{6}(2x-7)(2x-3)$

в)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $x^2 + x\sqrt{2} - 2$. Найдём корни уравнения $x^2 + x\sqrt{2} - 2 = 0$.

Здесь $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $c=-2$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 2 + 8 = 10$

$\sqrt{D} = \sqrt{10}$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения ($a=1$):

$(x - \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})(x - \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})$

Раскроем внутренние скобки:

$(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$

Ответ: $(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$

г)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $x^2 - x\sqrt{6} + 1$. Найдём корни уравнения $x^2 - x\sqrt{6} + 1 = 0$.

Здесь $a=1$, $b=-\sqrt{6}$, $c=1$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$

$\sqrt{D} = \sqrt{2}$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения ($a=1$):

$(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$

Ответ: $(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$