Номер 221, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

221. Докажите, что квадратный трёхчлен:

a) $-x^2 + 20x - 103$ не принимает положительных значений;

б) $x^2 - 16x + 65$ не принимает отрицательных значений.

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $-x^2 + 20x - 103$ не принимает положительных значений, то есть $-x^2 + 20x - 103 \le 0$ для любого $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.

Вынесем знак минус за скобки:
$-x^2 + 20x - 103 = -(x^2 - 20x + 103)$.

Чтобы в скобках получить полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, нам нужно, чтобы $a=x$ и $2ab = 20x$, откуда $b=10$. Тогда $b^2=100$. Представим число $103$ в виде суммы $100 + 3$:
$-(x^2 - 20x + 100 + 3) = -((x^2 - 20x + 100) + 3)$.

Теперь выражение в первых скобках является полным квадратом $(x-10)^2$:
$-((x-10)^2 + 3) = -(x-10)^2 - 3$.

Проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x-10)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x-10)^2$ всегда неположительно: $-(x-10)^2 \le 0$.
Вычитая из неположительного числа $3$, мы получаем число, которое всегда меньше или равно $-3$:
$-(x-10)^2 - 3 \le -3$.

Таким образом, мы показали, что максимальное значение квадратного трёхчлена $-x^2 + 20x - 103$ равно $-3$ (достигается при $x=10$). Поскольку его значения всегда меньше или равны $-3$, они никогда не бывают положительными.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $x^2 - 16x + 65$ не принимает отрицательных значений, то есть $x^2 - 16x + 65 \ge 0$ для любого $x$, также выделим полный квадрат.

Для выделения полного квадрата по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, нам нужно, чтобы $a=x$ и $2ab = 16x$, откуда $b=8$. Тогда $b^2=64$. Представим число $65$ в виде суммы $64 + 1$:
$x^2 - 16x + 65 = (x^2 - 16x + 64) + 1$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-8)^2$:
$(x-8)^2 + 1$.

Проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $(x-8)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному числу $1$, мы получаем число, которое всегда больше или равно $1$:
$(x-8)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, мы показали, что минимальное значение квадратного трёхчлена $x^2 - 16x + 65$ равно $1$ (достигается при $x=8$). Поскольку его значения всегда больше или равны $1$, они никогда не бывают отрицательными.

Ответ: Доказано.