Номер 226, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

226. Зная, что коэффициенты квадратного трёхчлена $(n-3)x^2 + (n+1)x + 9-2n$ — натуральные числа, найдите этот трёхчлен.

Дан квадратный трёхчлен $(n-3)x^2 + (n+1)x + 9-2n$. Его коэффициенты: $a = n-3$, $b = n+1$, $c = 9-2n$.

По условию задачи, все три коэффициента являются натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Следовательно, каждый из коэффициентов должен быть больше или равен 1. Это можно записать в виде системы неравенств:

$$ \begin{cases} n - 3 \ge 1 \\ n + 1 \ge 1 \\ 9 - 2n \ge 1 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство относительно $n$:

1. Из первого неравенства $n - 3 \ge 1$ получаем:

$n \ge 1 + 3$

$n \ge 4$

2. Из второго неравенства $n + 1 \ge 1$ получаем:

$n \ge 1 - 1$

$n \ge 0$

Это условие является менее строгим, чем $n \ge 4$, поэтому оно будет автоматически выполнено, если выполняется первое.

3. Из третьего неравенства $9 - 2n \ge 1$ получаем:

$9 - 1 \ge 2n$

$8 \ge 2n$

$4 \ge n$, или $n \le 4$

Теперь объединим полученные результаты. Мы должны найти такое значение $n$, которое одновременно удовлетворяет условиям $n \ge 4$ и $n \le 4$.

$$ \begin{cases} n \ge 4 \\ n \le 4 \end{cases} $$

Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этой системе, — это $n=4$.

Теперь, когда мы нашли значение $n$, подставим его в выражения для коэффициентов, чтобы найти искомый трёхчлен:

• Коэффициент при $x^2$: $a = n - 3 = 4 - 3 = 1$.
• Коэффициент при $x$: $b = n + 1 = 4 + 1 = 5$.
• Свободный член: $c = 9 - 2n = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$.

Все коэффициенты (1, 5, 1) являются натуральными числами, что соответствует условию задачи. Следовательно, искомый квадратный трёхчлен имеет вид: $1 \cdot x^2 + 5x + 1$.

Ответ: $x^2 + 5x + 1$.