Номер 233, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

233. Параболу $y = 7x^2$ сдвинули вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц. Графиком какой функции является полученная парабола?

Для нахождения уравнения искомой параболы воспользуемся правилами преобразования графиков функций. Исходная функция задана уравнением $y = 7x^2$. Вершина этой параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Преобразование графика функции $y = f(x)$ в $y = a \cdot f(x - x_0) + y_0$ соответствует его растяжению/сжатию и сдвигу. В нашем случае, общий вид уравнения параболы после сдвига будет $y = 7(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты новой вершины.

1. Сдвиг влево на 8 единиц
Сдвиг графика функции вдоль оси абсцисс (горизонтальный сдвиг) влево на $h$ единиц описывается заменой переменной $x$ на $(x+h)$. В данном случае, сдвиг происходит влево на 8 единиц, поэтому $h=8$. Координата $x_0$ новой вершины будет равна $0 - 8 = -8$.
Применяем это преобразование к исходной функции:
$y = 7(x - (-8))^2 = 7(x+8)^2$

2. Сдвиг вверх на 5 единиц
Сдвиг графика функции вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) вверх на $k$ единиц описывается прибавлением константы $k$ ко всей функции. В данном случае, сдвиг происходит вверх на 5 единиц, поэтому $k=5$. Координата $y_0$ новой вершины будет равна $0 + 5 = 5$.
Применяем это преобразование к функции, полученной на предыдущем шаге:
$y = 7(x+8)^2 + 5$

Таким образом, парабола $y=7x^2$, сдвинутая вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц, является графиком функции $y = 7(x+8)^2 + 5$. Новая вершина параболы находится в точке $(-8, 5)$.

Ответ: $y = 7(x+8)^2 + 5$