Номер 235, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

235. Постройте в одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$, $y = |x - 4|$, $y = |x - 4| - 3$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод геометрических преобразований, отталкиваясь от графика базовой функции $y = |x|$.

y = |x|
Это график основной функции модуля. Он состоит из двух частей:
1. Прямой $y = x$ для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$). Эта прямая является биссектрисой первого координатного угла.
2. Прямой $y = -x$ для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$). Эта прямая является биссектрисой второго координатного угла.
График представляет собой "галочку", вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для построения можно взять несколько контрольных точек, например: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$.
Ответ: График функции $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

y = |x - 4|
График этой функции можно получить из графика функции $y = |x|$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x-a)$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). В нашем случае $a=4$, что означает сдвиг графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо.
При этом сдвиге вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(4, 0)$. Ветви графика остаются направленными вверх.
Ответ: График функции $y = |x - 4|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(4, 0)$, полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо.

y = |x - 4| - 3
График этой функции можно получить из графика предыдущей функции $y = |x - 4|$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x)+b$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу графика функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вдоль оси ординат (Oy). В нашем случае $b=-3$, что означает сдвиг графика $y = |x - 4|$ на 3 единицы вниз.
При этом сдвиге вершина графика перемещается из точки $(4, 0)$ в точку $(4, -3)$. Ветви графика по-прежнему направлены вверх. Для более точного построения можно найти точки пересечения с осями. Например, пересечение с осью Oy происходит при $x=0$: $y = |0-4|-3 = 4-3=1$, то есть в точке $(0, 1)$.
Ответ: График функции $y = |x - 4| - 3$ — это "галочка" с вершиной в точке $(4, -3)$, полученная сдвигом графика $y = |x - 4|$ на 3 единицы вниз.