Номер 231, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

231. При каких значениях $a$ областью значений функции $y = ax^2$ является промежуток:

а) $[0; +\infty)$;

б) $(-\infty; 0]$?

Функция $y = ax^2$ является квадратичной, её график — парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Область значений (множество всех возможных значений $y$) определяется знаком коэффициента $a$.

Выражение $x^2$ для любого действительного значения $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

а) Требуется найти значения $a$, при которых областью значений функции $y = ax^2$ является промежуток $[0; +\infty)$.

Это означает, что все значения функции должны быть неотрицательными: $y \ge 0$.
Поскольку $y = ax^2$ и $x^2 \ge 0$, для того чтобы произведение $ax^2$ было неотрицательным, коэффициент $a$ должен быть положительным.
Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Минимальное значение функции достигается в ее вершине $(0, 0)$ и равно $y=0$. При увеличении $|x|$ значения $y$ неограниченно возрастают. Таким образом, область значений — это $[0; +\infty)$.
Если $a=0$, то функция принимает вид $y=0$. В этом случае область значений состоит из одного числа $\{0\}$, что не является промежутком $[0; +\infty)$.
Следовательно, условие выполняется только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

б) Требуется найти значения $a$, при которых областью значений функции $y = ax^2$ является промежуток $(-\infty; 0]$.

Это означает, что все значения функции должны быть неположительными: $y \le 0$.
Поскольку $y = ax^2$ и $x^2 \ge 0$, для того чтобы произведение $ax^2$ было неположительным, коэффициент $a$ должен быть отрицательным.
Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функции достигается в ее вершине $(0, 0)$ и равно $y=0$. При увеличении $|x|$ значения $y$ неограниченно убывают. Таким образом, область значений — это $(-\infty; 0]$.
Если $a=0$, то, как и в предыдущем пункте, область значений — это $\{0\}$, что не является промежутком $(-\infty; 0]$.
Следовательно, условие выполняется только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.