Номер 227, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

227. Сократите дробь:

а) $\frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}$;

б) $\frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2m^2 - 8$.

Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(m^2 - 4)$.

Выражение в скобках $m^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m-2)(m+2)$.

Таким образом, числитель равен $2(m-2)(m+2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $m^2 + 6m + 8$.

Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни уравнения $m^2 + 6m + 8 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $m_1 + m_2 = -6$, а их произведение $m_1 \cdot m_2 = 8$. Подбором находим корни: $m_1 = -2$ и $m_2 = -4$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид $(m - m_1)(m - m_2) = (m - (-2))(m - (-4)) = (m+2)(m+4)$.

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8} = \frac{2(m-2)(m+2)}{(m+2)(m+4)}$

Сократим общий множитель $(m+2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2(m-2)}{m+4}$

Ответ: $\frac{2(m-2)}{m+4}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2m^2 - 5m + 2$.

Это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $2m^2 - 5m + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(m-m_1)(m-m_2)$:

$2(m-2)(m-\frac{1}{2}) = (m-2) \cdot 2(m-\frac{1}{2}) = (m-2)(2m-1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $mn - 2n - 3m + 6$.

Применим метод группировки слагаемых:

$(mn - 2n) + (-3m + 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$n(m - 2) - 3(m - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(m-2)$ за скобки:

$(m-2)(n-3)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6} = \frac{(m-2)(2m-1)}{(m-2)(n-3)}$

Сократим общий множитель $(m-2)$:

$\frac{2m-1}{n-3}$

Ответ: $\frac{2m-1}{n-3}$