Номер 222, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

222. Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена:

а) $3x^2 - 4x + 5;$

б) $-3x^2 + 12x.$

а) $3x^2 - 4x + 5$

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ нужно определить, имеет ли он наименьшее или наибольшее значение, и найти значение в вершине параболы, которая является его графиком.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет наименьшее значение.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Координата $x$ вершины ($x_0$) вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данного трехчлена $b = -4$.

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти наименьшее значение, подставим $x_0$ в исходный трехчлен:

$y_{min} = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{12}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{4 - 8 + 15}{3} = \frac{11}{3}$.

Наименьшее значение трехчлена равно $\frac{11}{3}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{11}{3}$.

б) $-3x^2 + 12x$

Рассмотрим квадратный трехчлен $-3x^2 + 12x$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение.

Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Координата $x$ вершины ($x_0$) вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данного трехчлена $b = 12$.

$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.

Чтобы найти наибольшее значение, подставим $x_0$ в исходный трехчлен:

$y_{max} = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$.

Наибольшее значение трехчлена равно 12.

Ответ: наибольшее значение равно 12.