Номер 219, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

219. Пусть $α$ и $β$ — корни трёхчлена $x^2 + px + q$, причём $αβ = 4$ и $&sqrt;{α} + &sqrt;{β} = 3$. Чему равны $α$ и $β$?

По условию, $\alpha$ и $\beta$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 + px + q$. Согласно теореме Виета, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:
$\alpha + \beta = -p$
$\alpha\beta = q$

В задаче даны два условия:
1) $\alpha\beta = 4$
2) $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 3$

Из условия существования квадратных корней $\sqrt{\alpha}$ и $\sqrt{\beta}$ следует, что корни $\alpha$ и $\beta$ должны быть неотрицательными, то есть $\alpha \ge 0$ и $\beta \ge 0$.

Для нахождения суммы корней $\alpha + \beta$ возведём обе части второго уравнения в квадрат:
$(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2 = 3^2$
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(\sqrt{\alpha})^2 + 2\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta} + (\sqrt{\beta})^2 = 9$
$\alpha + 2\sqrt{\alpha\beta} + \beta = 9$

Теперь подставим в полученное уравнение известное из первого условия значение произведения $\alpha\beta = 4$:
$\alpha + \beta + 2\sqrt{4} = 9$
$\alpha + \beta + 2 \cdot 2 = 9$
$\alpha + \beta + 4 = 9$

Отсюда находим сумму корней:
$\alpha + \beta = 9 - 4$
$\alpha + \beta = 5$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений для нахождения $\alpha$ и $\beta$:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 5 \\ \alpha\beta = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа, чья сумма равна 5, а произведение равно 4, являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его можно легко решить, разложив левую часть на множители:
$t^2 - 4t - t + 4 = 0$
$t(t - 4) - 1(t - 4) = 0$
$(t - 1)(t - 4) = 0$
Отсюда получаем корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Следовательно, искомые значения корней $\alpha$ и $\beta$ — это 1 и 4. Поскольку задача симметрична относительно $\alpha$ и $\beta$, то возможны два варианта.

Ответ: $\alpha=1, \beta=4$ или $\alpha=4, \beta=1$.