Номер 214, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

214. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2; $

б) $ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}; $

в) $ -x^2 + 4x - 2\frac{3}{4}; $

г) $ 0,4x^2 - x + 0,2. $

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$, необходимо решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ – дискриминант.

Для того чтобы найти корни квадратного трёхчлена $\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2$, приравняем его к нулю:

$\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot (\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2) = 6 \cdot 0$

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=-12$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: -6; 2.

Найдём корни трёхчлена $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}$, решив уравнение:

$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (2, 3, 4), который равен 12:

$12 \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}) = 12 \cdot 0$

$6x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-4$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 16 + 72 = 88$

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{12} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{22}}{6}$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{22}}{6}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{22}}{6}$; $\frac{2 + \sqrt{22}}{6}$.

Найдём корни трёхчлена $-x^2 + 4x - 2\frac{3}{4}$, решив уравнение:

$-x^2 + 4x - 2\frac{3}{4} = 0$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

$-x^2 + 4x - \frac{11}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$-4x^2 + 16x - 11 = 0$

Для удобства умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$4x^2 - 16x + 11 = 0$

Здесь $a=4$, $b=-16$, $c=11$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 256 - 176 = 80$

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{5}}{8}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$x = \frac{4(4 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{4 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{4 + \sqrt{5}}{2}$.

Найдём корни трёхчлена $0.4x^2 - x + 0.2$, решив уравнение:

$0.4x^2 - x + 0.2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$4x^2 - 10x + 2 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-5$, $c=1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{17}}{4}$; $\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$.