Номер 209, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

209. Решите уравнение:

а) $\sqrt{x} + x^2 = 18;$

б) $x^3 + 5x = 6.$

а) $\sqrt{x} + x^2 = 18$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием квадратного корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x} + x^2$ в левой части уравнения. Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(x) = (\sqrt{x} + x^2)' = (\smash{x^{\frac{1}{2}}} + x^2)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x$.
В области допустимых значений при $x > 0$ оба слагаемых в производной ($\frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $2x$) положительны. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.
Так как функция строго возрастает, она может принимать каждое свое значение только один раз. Значит, уравнение $f(x) = 18$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые числа, являющиеся полными квадратами, чтобы было удобно извлекать корень.
Пусть $x = 1$: $\sqrt{1} + 1^2 = 1 + 1 = 2 \ne 18$.
Пусть $x = 4$: $\sqrt{4} + 4^2 = 2 + 16 = 18$.
Равенство выполняется, значит $x = 4$ является корнем уравнения. Поскольку корень может быть только один, это и есть решение.
Ответ: $x=4$.

б) $x^3 + 5x = 6$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 + 5x - 6 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(x) = x^3 + 5x - 6$. Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность:
$g'(x) = (x^3 + 5x - 6)' = 3x^2 + 5$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $g'(x) = 3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ для всех $x$.
Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Значит, уравнение $g(x) = 0$ может иметь не более одного действительного корня.
Найдем корень методом подбора среди целых делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим $x = 1$: $1^3 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$.
Равенство выполняется, значит $x = 1$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Альтернативный способ:
После нахождения корня $x=1$ можно разделить многочлен $x^3 + 5x - 6$ на двучлен $(x - 1)$:
$(x^3 + 5x - 6) : (x - 1) = x^2 + x + 6$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x - 1)(x^2 + x + 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 + x + 6 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Так как дискриминант $\Delta < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным решением исходного уравнения является $x = 1$.
Ответ: $x=1$.